Sistema de ecuaciones: costes de construcción

**A. [1 PUNTO] Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio (en €/kg) del cemento, el ladrillo y el azulejo en el suministrador A.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan los precios por kilogramo en el suministrador A: - $x$: precio del kg de cemento en el suministrador A (€/kg). - $y$: precio del kg de ladrillo en el suministrador A (€/kg). - $z$: precio del kg de azulejo en el suministrador A (€/kg). 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante en los problemas de planteamiento para no confundir los datos durante la resolución.

Analizamos cada una de las condiciones dadas en el enunciado: 1. **Suministrador A:** La suma de los costes de cada material (cantidad $\cdot$ precio) es de $9800\ \text{€}$. $$400x + 150y + 120z = 9800$$ 2. **Suministrador B:** Los precios son la mitad, un tercio y un cuarto de los de A. El ahorro es de $6400\ \text{€}$, lo que significa que el precio total en B es $9800 - 6400 = 3400\ \text{€}$. $$400\left(\frac{x}{2}\right) + 150\left(\frac{y}{3}\right) + 120\left(\frac{z}{4}\right) = 3400$$ Simplificando esta ecuación: $$200x + 50y + 30z = 3400$$ 3. **Relación de precios en A:** El precio del azulejo es el doble de la suma de los otros dos. $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ahorro se resta al precio original para obtener el coste final del segundo suministrador.

Para trabajar con números más sencillos, podemos simplificar las dos primeras ecuaciones dividiéndolas por $10$: - Ec. 1: $40x + 15y + 12z = 980$ - Ec. 2: $20x + 5y + 3z = 340$ - Ec. 3: $2x + 2y - z = 0$ El sistema de ecuaciones planteado es: $$\boxed{\begin{cases} 40x + 15y + 12z = 980 \\ 20x + 5y + 3z = 340 \\ 2x + 2y - z = 0 \end{cases}}$$

**B. [1,5 PUNTOS] Resuélvalo.** Utilizaremos el método de Gauss. Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema, colocando la ecuación más sencilla (la 3ª) en la primera fila para facilitar los cálculos: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 20 & 5 & 3 & 340 \\ 40 & 15 & 12 & 980 \end{array}\right)$$ Realizamos las siguientes operaciones elementales entre filas: 1. $F_2 \to F_2 - 10F_1$: - $20 - 10(2) = 0$ - $5 - 10(2) = -15$ - $3 - 10(-1) = 13$ - $340 - 10(0) = 340$ 2. $F_3 \to F_3 - 20F_1$: - $40 - 20(2) = 0$ - $15 - 20(2) = -25$ - $12 - 20(-1) = 32$ - $980 - 20(0) = 980$ Obtenemos: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -15 & 13 & 340 \\ 0 & -25 & 32 & 980 \end{array}\right)$$ Ahora, para hacer un cero en la posición del $-25$, hacemos $F_3 \to 3F_3 - 5F_2$: - $3(-25) - 5(-15) = -75 + 75 = 0$ - $3(32) - 5(13) = 96 - 65 = 31$ - $3(980) - 5(340) = 2940 - 1700 = 1240$ La matriz queda escalonada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -15 & 13 & 340 \\ 0 & 0 & 31 & 1240 \end{array}\right)$$

Despejamos las incógnitas empezando por la última fila: 1. De la 3ª fila: $31z = 1240$ $$z = \frac{1240}{31} = 40$$ 2. De la 2ª fila: $-15y + 13z = 340$ $$-15y + 13(40) = 340 \implies -15y + 520 = 340$$ $$-15y = 340 - 520 \implies -15y = -180$$ $$y = \frac{-180}{-15} = 12$$ 3. De la 1ª fila: $2x + 2y - z = 0$ $$2x + 2(12) - 40 = 0 \implies 2x + 24 - 40 = 0$$ $$2x - 16 = 0 \implies 2x = 16 \implies x = 8$$ Los precios por kilogramo en el suministrador A son: - Cemento: **$8\ \text{€/kg}$** - Ladrillo: **$12\ \text{€/kg}$** - Azulejo: **$40\ \text{€/kg}$** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 8,\ y = 12,\ z = 40}$$