Optimización de la producción de packs de repostería

**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de packs de tipo A producidos diariamente. - $y$: número de packs de tipo B producidos diariamente. El beneficio neto se obtiene sumando el beneficio de cada pack (44 € por cada pack A y 16 € por cada pack B). Por tanto, la **función objetivo** a maximizar es: $$B(x, y) = 44x + 16y$$ 💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer máxima (beneficios) o mínima (costes).

Las restricciones vienen dadas por la disponibilidad limitada de materias primas (tartas de queso y quesadas) y la naturaleza de las variables (no pueden ser negativas). 1. **Restricción de tartas de queso:** Se dispone de un máximo de 400. El pack A usa 4 y el B usa 2: $$4x + 2y \le 400$$ 2. **Restricción de quesadas:** Se dispone de un máximo de 900. El pack A usa 12 y el B usa 3: $$12x + 3y \le 900$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** La producción no puede ser negativa: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ En resumen, el sistema de restricciones es: $$\boxed{\begin{cases} 4x + 2y \le 400 \\ 12x + 3y \le 900 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}}$$

**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.** Para representar la región factible, primero calculamos los puntos de corte de las rectas frontera con los ejes: - **Recta $r_1$ ($4x + 2y = 400$):** - Si $x = 0 \implies 2y = 400 \implies y = 200$. Punto $(0, 200)$. - Si $y = 0 \implies 4x = 400 \implies x = 100$. Punto $(100, 0)$. - **Recta $r_2$ ($12x + 3y = 900$):** - Si $x = 0 \implies 3y = 900 \implies y = 300$. Punto $(0, 300)$. - Si $y = 0 \implies 12x = 900 \implies x = 75$. Punto $(75, 0)$. Calculamos la **intersección** entre $r_1$ y $r_2$ para hallar el vértice interior: $$\begin{cases} 4x + 2y = 400 \\ 12x + 3y = 900 \end{cases}$$ Simplificamos la primera dividiendo entre 2 ($2x + y = 200$) y la segunda entre 3 ($4x + y = 300$). Restamos las ecuaciones: $$(4x + y) - (2x + y) = 300 - 200 \implies 2x = 100 \implies x = 50$$ Sustituimos $x = 50$ en $2x + y = 200$: $$2(50) + y = 200 \implies 100 + y = 200 \implies y = 100$$ Los vértices de la región factible son: $$\boxed{O(0, 0), \quad A(0, 200), \quad B(50, 100), \quad C(75, 0)}$$ 💡 **Tip:** La región factible es el conjunto de puntos $(x,y)$ que cumplen todas las desigualdades a la vez.

Representamos las rectas y sombreamos el recinto cerrado por las restricciones anteriores. La región es el polígono con vértices calculados en el paso anterior.

**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos packs de cada tipo debe producir el obrador en un día para que el beneficio obtenido sea máximo?** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se encuentra en uno de los vértices de la región factible. Evaluamos $B(x, y) = 44x + 16y$ en cada uno: - $B(0, 0) = 44(0) + 16(0) = 0$ € - $B(0, 200) = 44(0) + 16(200) = 3200$ € - $B(75, 0) = 44(75) + 16(0) = 3300$ € - $B(50, 100) = 44(50) + 16(100) = 2200 + 1600 = 3800$ € El valor máximo se alcanza en el punto $(50, 100)$. Para maximizar el beneficio, el obrador debe producir: $$\boxed{50 \text{ packs del tipo A y } 100 \text{ packs del tipo B}}$$

**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?** Utilizando el resultado del paso anterior, el beneficio máximo es el valor de la función objetivo evaluada en el punto óptimo $(50, 100)$: $$B(50, 100) = 44 \cdot 50 + 16 \cdot 100 = 2200 + 1600 = 3800$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo asciende a } 3800 \text{ €}}$$