Estudio de continuidad, asíntotas y representación gráfica

**A. [1 PUNTO] ¿En qué puntos es discontinua $f$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso?** Para estudiar la continuidad de una función racional, primero identificamos los puntos donde el denominador se anula, ya que son los candidatos a puntos de discontinuidad. Resolvemos $x^2 + 2x - 8 = 0$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos valores: $$x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4$$ El dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-4, 2\}$. En estos dos puntos la función es discontinua. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. $$\boxed{\text{Puntos de discontinuidad: } x = 2, x = -4}$$

Para clasificar las discontinuidades, calculamos el límite de la función en cada punto. Primero, factorizamos numerador y denominador para facilitar el cálculo: - Numerador: $2x^2 + 2x - 24 = 2(x^2 + x - 12) = 2(x + 4)(x - 3)$ - Denominador: $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ **Caso 1: En $x = -4$** $$\lim_{x \to -4} \frac{2(x + 4)(x - 3)}{(x + 4)(x - 2)} = \lim_{x \to -4} \frac{2(x - 3)}{x - 2} = \frac{2(-4 - 3)}{-4 - 2} = \frac{-14}{-6} = \frac{7}{3}$$ Como el límite existe y es finito, se trata de una **discontinuidad evitable**. **Caso 2: En $x = 2$** $$\lim_{x \to 2} \frac{2(x + 4)(x - 3)}{(x + 4)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2(x - 3)}{x - 2} = \frac{2(2 - 3)}{2 - 2} = \frac{-2}{0} = \pm \infty$$ Calculando límites laterales: - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$ Como el límite es infinito, se trata de una **discontinuidad inevitable de salto infinito**. $$\boxed{x=-4: \text{Evitable}; \quad x=2: \text{Inevitable de salto infinito}}$$

**B. [0,25 PUNTOS] ¿Se podría redefinir $f$ para evitar alguna de estas discontinuidades?** Una discontinuidad se puede evitar si y solo si es de tipo **evitable**, es decir, si el límite en el punto existe y es un número real finito. Como hemos visto en el apartado anterior, la discontinuidad en $x = -4$ es evitable porque $\lim_{x \to -4} f(x) = \frac{7}{3}$. Podemos redefinir la función como: $$f(x)=\begin{cases} \frac{2x^2 + 2x - 24}{x^2 + 2x - 8} & \text{si } x \neq -4, 2 \\ \frac{7}{3} & \text{si } x = -4 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las discontinuidades inevitables (donde el límite es infinito o los límites laterales no coinciden) nunca pueden evitarse redefiniendo un solo punto. $$\boxed{\text{Sí, se puede evitar la de } x = -4 \text{ asignando } f(-4) = 7/3}$$

**C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuáles son las asíntotas de $f$?** **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Aparecen en los puntos donde el límite de la función es infinito. Según el apartado A, esto ocurre en $x = 2$. $$\boxed{\text{A.V.: } x = 2}$$ *(Nota: En $x = -4$ no hay asíntota porque el límite es finito).* **2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 2x - 24}{x^2 + 2x - 8} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ $$\boxed{\text{A.H.: } y = 2}$$ **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la A.H. es el cociente de los coeficientes principales.$$\boxed{\text{A.V.: } x = 2; \quad \text{A.H.: } y = 2}$$

**D. [0,5 PUNTOS] Esboce la gráfica de $f$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY.** **Cortes con el eje OX ($y = 0$):** Igualamos el numerador a cero (teniendo en cuenta el dominio): $2(x+4)(x-3) = 0 \implies x = -4$ (No válido, no pertenece al dominio) y $x = 3$. $$\text{Punto: } (3, 0)$$ **Cortes con el eje OY ($x = 0$):** Calculamos $f(0)$: $$f(0) = \frac{2(0)^2 + 2(0) - 24}{0^2 + 2(0) - 8} = \frac{-24}{-8} = 3$$ $$\text{Punto: } (0, 3)$$ **Puntos clave para la gráfica:** - Asíntota vertical: $x = 2$. - Asíntota horizontal: $y = 2$. - Punto de discontinuidad evitable (hueco): $(-4, 7/3)$. - Corte OX: $(3, 0)$. - Corte OY: $(0, 3)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{2x^2 + 2x - 24}{x^2 + 2x - 8}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = 2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ah", "latex": "y = 2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "corteY", "latex": "(0, 3)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "(0,3)" }, { "id": "corteX", "latex": "(3, 0)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "(3,0)" }, { "id": "hueco", "latex": "(-4, 2.333)", "color": "#111827", "pointStyle": "OPEN" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -5, "top": 10 } } }