Optimización de costes de transporte

**A. [1,25 PUNTOS] ¿Cuántos vehículos han de movilizarse para minimizar costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes?** Para resolver el problema, primero necesitamos conocer la función de costes $C(v)$. Como nos dan su derivada $C'(v)$, debemos integrar: $$C(v) = \int C'(v) \, dv = \int (v^2 - 32v + 112) \, dv$$ Aplicando las reglas básicas de integración: $$C(v) = \frac{v^3}{3} - 32 \frac{v^2}{2} + 112v + K = \frac{v^3}{3} - 16v^2 + 112v + K$$ Sabemos que si no se moviliza ningún vehículo ($v=0$), los costes son 5000 €. Esto nos permite hallar la constante $K$: $$C(0) = 5000 \implies \frac{0^3}{3} - 16(0)^2 + 112(0) + K = 5000 \implies K = 5000$$ Por tanto, la función de costes es: $$\boxed{C(v) = \frac{v^3}{3} - 16v^2 + 112v + 5000}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función nos da una familia de funciones que difieren en una constante $K$. Usamos el dato del enunciado (condición inicial) para encontrar el valor exacto de esa constante.

Para encontrar los máximos y mínimos, buscamos los puntos donde la derivada es igual a cero ($C'(v) = 0$): $$v^2 - 32v + 112 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$v = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112}}{2 \cdot 1}$$ $$v = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 448}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{576}}{2}$$ $$v = \frac{32 \pm 24}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $v_1 = \frac{32 - 24}{2} = \frac{8}{2} = 4$ - $v_2 = \frac{32 + 24}{2} = \frac{56}{2} = 28$ Dado que la empresa tiene un máximo de 36 vehículos, el dominio de nuestra función es $v \in [0, 36]$. Ambos puntos están dentro del dominio.

Analizamos el signo de $C'(v)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 36]$: $$\begin{array}{c|ccccc} v & (0, 4) & 4 & (4, 28) & 28 & (28, 36)\\ \hline C'(v) & + & 0 & - & 0 & + \\ C(v) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación:** - Para $v \in (0, 4)$, probamos con $v=1$: $C'(1) = 1 - 32 + 112 = 81 \gt 0$ (Creciente). - Para $v \in (4, 28)$, probamos con $v=10$: $C'(10) = 100 - 320 + 112 = -108 \lt 0$ (Decreciente). - Para $v \in (28, 36)$, probamos con $v=30$: $C'(30) = 900 - 960 + 112 = 52 \gt 0$ (Creciente).

Según el estudio de monotonía, existe un **mínimo relativo en $v = 28$**. Calculamos el coste para ese número de vehículos: $$C(28) = \frac{28^3}{3} - 16(28^2) + 112(28) + 5000$$ $$C(28) = \frac{21952}{3} - 16(784) + 3136 + 5000$$ $$C(28) = 7317.33 - 12544 + 3136 + 5000 = 2909.33 \text{ €}$$ Comparamos con los extremos del intervalo para asegurar que es el mínimo absoluto: - $C(0) = 5000$ - $C(36) = \frac{36^3}{3} - 16(36^2) + 112(36) + 5000 = 15552 - 20736 + 4032 + 5000 = 3848$ El valor más bajo ocurre en $v=28$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Han de movilizarse 28 vehículos para un coste mínimo de 2909,33 €}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Para qué número de vehículos movilizados serían máximos los costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes?** El estudio de monotonía indica un **máximo relativo en $v = 4$**. Calculamos su valor: $$C(4) = \frac{4^3}{3} - 16(4^2) + 112(4) + 5000$$ $$C(4) = \frac{64}{3} - 256 + 448 + 5000$$ $$C(4) = 21.33 + 5192 = 5213.33 \text{ €}$$ Comparamos con los valores en los extremos que ya calculamos anteriormente: - $C(0) = 5000 \text{ €}$ - $C(36) = 3848 \text{ €}$ El coste máximo absoluto ocurre cuando se movilizan 4 vehículos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los costes son máximos con 4 vehículos, ascendiendo a 5213,33 €}}$$

A continuación se muestra la representación de la función de costes en el intervalo de vehículos disponible $[0, 36]$. Se pueden observar claramente los picos (máximo) y valles (mínimo) calculados.