Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media de una normal

**A. [1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del $93 \%$ para el peso medio de una naranja.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de las naranjas en gramos. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 15)$$ Los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 210$ g - Desviación típica poblacional: $\sigma = 15$ g - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.93$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con $\sigma$ conocida viene dado por la fórmula: $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es el error máximo admitido.

Para un nivel de confianza del $93 \%$: $$1 - \alpha = 0.93 \implies \alpha = 0.07 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.035$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que el área a su izquierda sea $1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.035 = 0.965$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, buscamos el valor más próximo a $0.965$: - Para $z = 1.81$, la probabilidad es $0.9649$. - Para $z = 1.82$, la probabilidad es $0.9656$. Tomamos el valor más cercano: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.81}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se elige el más cercano o se realiza una interpolación lineal. En este caso $1.81$ es una excelente aproximación.

Calculamos primero el error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.81 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 1.81 \cdot \frac{15}{10} = 1.81 \cdot 1.5 = 2.715$$ Ahora construimos el intervalo $( \bar{x} - E, \bar{x} + E )$: $$IC = (210 - 2.715, \; 210 + 2.715) = (207.285, \; 212.715)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (207.285, \; 212.715)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de naranjas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el peso medio por naranja, con un nivel de confianza del $97 \%$, fuese de $2$ gramos?** Actualizamos los datos para este apartado: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$ - Error máximo permitido: $E = 2$ - Desviación típica: $\sigma = 15$ Buscamos el nuevo $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ En la tabla de la normal $N(0, 1)$, este valor corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumenta, lo que requiere un tamaño de muestra mayor para mantener el mismo error.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.17 \cdot 15}{2} \right)^2 = \left( \frac{32.55}{2} \right)^2 = (16.275)^2 = 264.875625$$ Como el número de naranjas debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $2$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error no supere dicho valor. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 265 \text{ naranjas}}$$