Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Censo Electoral

**A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido B y tenga como máximo 60 años?** Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información: - $A$: El ciudadano vota al partido A. - $B$: El ciudadano vota al partido B. - $S$: El ciudadano se abstiene. - $M$: El ciudadano es mayor de 60 años. - $\bar{M}$: El ciudadano tiene como máximo 60 años (no es mayor de 60). Datos del enunciado: $P(A) = 0.35$ $P(B) = 0.45$ $P(S) = 0.20$ Probabilidades condicionadas (mayores de 60 años): $P(M|A) = 0.20 \implies P(\bar{M}|A) = 1 - 0.20 = 0.80$ $P(M|B) = 0.30 \implies P(\bar{M}|B) = 1 - 0.30 = 0.70$ $P(M|S) = 0.15 \implies P(\bar{M}|S) = 1 - 0.15 = 0.85$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad: Para el apartado A, calculamos la probabilidad de la intersección $P(B \cap \bar{M})$: $$P(B \cap \bar{M}) = P(B) \cdot P(\bar{M}|B) = 0.45 \cdot 0.70 = 0.315.$$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de un camino se calcula multiplicando las probabilidades de sus ramas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap \bar{M}) = 0.315}$$

**B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que vote al partido A y sea mayor de 60 años?** En este caso, buscamos la probabilidad de la intersección $P(A \cap M)$. Siguiendo el camino del árbol que corresponde a "Vota A" y luego "Es mayor de 60 años": $$P(A \cap M) = P(A) \cdot P(M|A)$$ $$P(A \cap M) = 0.35 \cdot 0.20 = 0.07.$$ 💡 **Tip:** La frase "vota al partido A **y** sea mayor de 60 años" indica una intersección, por lo que multiplicamos la probabilidad de elegir el partido A por la probabilidad de ser mayor de 60 sabiendo que se vota a ese partido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap M) = 0.07}$$

**C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años?** Para calcular la probabilidad de ser mayor de 60 años ($P(M)$), debemos sumar las probabilidades de ser mayor de 60 en cada uno de los tres casos posibles (Votar A, Votar B o Abstenerse). Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(M) = P(A \cap M) + P(B \cap M) + P(S \cap M)$$ $$P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) + P(S)P(M|S)$$ Sustituimos los valores: - $P(A \cap M) = 0.35 \cdot 0.20 = 0.07$ - $P(B \cap M) = 0.45 \cdot 0.30 = 0.135$ - $P(S \cap M) = 0.20 \cdot 0.15 = 0.03$ Sumamos los resultados: $$P(M) = 0.07 + 0.135 + 0.03 = 0.235.$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser mayor de 60) puede ocurrir a través de varias vías excluyentes (los partidos o la abstención). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.235}$$

**D. [0,75 PUNTOS] Si es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que se haya abstenido ($S$) sabiendo que es mayor de 60 años ($M$). Esto se denota como $P(S|M)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(S|M) = \frac{P(S \cap M)}{P(M)}$$ Ya conocemos los valores de los pasos anteriores: - $P(S \cap M) = 0.03$ (calculado en el apartado C). - $P(M) = 0.235$ (calculado en el apartado C). Calculamos el cociente: $$P(S|M) = \frac{0.03}{0.235} \approx 0.127659...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(S|M) \approx 0.1277.$$ 💡 **Tip:** Bayes nos permite "invertir" la condición. Si sabemos $P(M|S)$ (probabilidad de edad dado el voto), Bayes nos da $P(S|M)$ (probabilidad del voto dada la edad). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|M) \approx 0.1277}$$