Álgebra 2022 Castilla y Leon
Programación lineal: Maximización de beneficios en impresión 3D
P1. (Números y álgebra)
Una empresa de diseño ha comprado dos impresoras 3D para imprimir figuras y fichas para juegos de mesa. La primera impresora puede trabajar hasta 300 horas y necesita 6 horas para imprimir cada figura y 5 horas para cada ficha. La segunda impresora puede trabajar hasta 200 horas y necesita 2 horas para hacer cada figura y 5 horas para cada ficha. El beneficio neto que obtiene la empresa por imprimir cada figura es de 1 € mientras que el beneficio neto que obtiene por imprimir cada ficha es de 1.5 €. Si el número máximo de figuras ha de ser 25, calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas figuras y fichas ha de imprimir para obtener el máximo beneficio neto. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular y definir las variables del problema:
- $x$: número de figuras a imprimir.
- $y$: número de fichas a imprimir.
La función que queremos maximizar es el beneficio neto total ($B$), que se construye con los beneficios unitarios de cada producto:
$$B(x, y) = 1x + 1.5y$$
💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa aquello que queremos optimizar (maximizar beneficios o minimizar costes).
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las limitaciones del enunciado a inecuaciones matemáticas:
1. **Impresora 1:** El tiempo total no puede superar las 300 horas.
$$6x + 5y \le 300$$
2. **Impresora 2:** El tiempo total no puede superar las 200 horas.
$$2x + 5y \le 200$$
3. **Límite de figuras:** El número máximo de figuras es 25.
$$x \le 25$$
4. **No negatividad:** Como no se pueden imprimir cantidades negativas, añadimos:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El sistema de restricciones (región factible) es:
$$\begin{cases} 6x + 5y \le 300 \\ 2x + 5y \le 200 \\ x \le 25 \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{cases}$$
💡 **Tip:** No olvides nunca las restricciones de no negatividad $x, y \ge 0$ en problemas de producción real.
Paso 3
Cálculo de los vértices de la región factible
Para hallar los vértices, resolvemos los sistemas de ecuaciones asociados a las rectas de las restricciones:
- **Vértice A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$.
- **Vértice B:** Intersección de $x=0$ con la segunda impresora ($2x + 5y = 200$):
$$2(0) + 5y = 200 \implies 5y = 200 \implies y = 40 \implies \mathbf{B(0, 40)}$$
- **Vértice C:** Intersección de las dos impresoras:
$$\begin{cases} 6x + 5y = 300 \\ 2x + 5y = 200 \end{cases}$$
Restando las ecuaciones: $(6x - 2x) = 300 - 200 \implies 4x = 100 \implies x = 25$.
Sustituyendo $x=25$ en la segunda: $2(25) + 5y = 200 \implies 50 + 5y = 200 \implies 5y = 150 \implies y = 30$.
El punto es **$\mathbf{C(25, 30)}$**. (Este punto cumple también la restricción $x \le 25$).
- **Vértice D:** Intersección de $x=25$ con el eje $y=0 \implies \mathbf{D(25, 0)}$.
Paso 4
Representación gráfica
Dibujamos la región factible delimitada por las rectas anteriores. El área sombreada contiene todas las soluciones posibles que cumplen las restricciones.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el beneficio $B(x, y) = x + 1.5y$ en cada uno de los vértices hallados:
- $B(A) = B(0, 0) = 0 + 1.5(0) = 0 \text{ €}$
- $B(B) = B(0, 40) = 0 + 1.5(40) = 60 \text{ €}$
- $B(C) = B(25, 30) = 25 + 1.5(30) = 25 + 45 = \mathbf{70 \text{ €}}$
- $B(D) = B(25, 0) = 25 + 1.5(0) = 25 \text{ €}$
El valor máximo se alcanza en el punto $C(25, 30)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Debe imprimir 25 figuras y 30 fichas para un beneficio máximo de 70 €}}$$
💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si existe una solución óptima, esta se encontrará en uno de los vértices de la región factible.