Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & a \\ 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & 2 & a & | & 1 \\ 5 & 3 & 3 & | & 2 \\ 1 & 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Para clasificar el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, el sistema es incompatible.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la **Regla de Sarrus** para encontrar los valores de $a$ que anulan el determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & a \\ 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [3 \cdot 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \cdot 1 + a \cdot 5 \cdot 1] - [a \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 \cdot (-1)]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (-9 + 6 + 5a) - (3a + 9 - 10)$$ $$|A| = (-3 + 5a) - (3a - 1)$$ $$|A| = -3 + 5a - 3a + 1 = 2a - 2$$ Igualamos a cero para hallar el valor crítico: $$2a - 2 = 0 \implies 2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$$ $$\boxed{|A| = 2a - 2}$$

**Caso 1: Si $a \neq 1$** Si $a$ es cualquier número distinto de 1, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rango}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al contener a la matriz $A$ en su interior, deducimos que: $$\text{rango}(A^*) = 3$$ Como el número de incógnitas también es $n = 3$, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ ✅ **Resultado:** El sistema tiene **solución única** si $a \neq 1$.

**Caso 2: Si $a = 1$** Si $a = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 3 = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando el determinante formado por las columnas 1, 2 y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (9 + 4 + 5) - (3 + 6 + 10) = 18 - 19 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo dentro de $A^*$, entonces: $$\text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: $$\mathbf{\text{Sistema Incompatible (SI)}}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ a = 1 \implies \text{SI (Sin solución)} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema para $a = 0$.** Como $a = 0 \neq 1$, sabemos por el apartado anterior que estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema a resolver es: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ 5x + 3y + 3z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{cases} $$ Calculamos primero el determinante de $A$ para este valor: $$|A| = 2(0) - 2 = -2$$ Utilizaremos la **Regla de Cramer** para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$. 💡 **Tip:** La Regla de Cramer nos dice que $x = \frac{|A_x|}{|A|}$, $y = \frac{|A_y|}{|A|}$, $z = \frac{|A_z|}{|A|}$, donde cada $|A_i|$ se obtiene sustituyendo la columna de la incógnita por la columna de términos independientes $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Calculamos los determinantes auxiliares: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-3 + 6 + 0) - (0 + 3 - 4) = 3 - (-1) = 4 \implies x = \frac{4}{-2} = -2$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-6 + 3 + 0) - (0 + 9 - 5) = -3 - 4 = -7 \implies y = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (9 + 4 + 5) - (3 + 6 + 10) = 18 - 19 = -1 \implies z = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{x = -2, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = \frac{1}{2}}$$