Continuidad y optimización del consumo de combustible

**a) Establecer el valor de $a$ para que el consumo sea continuo a lo largo de todo el turno. ¿A partir de la segunda hora cuánto cambia el consumo por cada hora que pasa?** Para que la función sea continua en todo el turno ($0 \le t \le 8$), el único punto problemático es el valor de unión de las ramas, $t = 4$. Debemos asegurar que los límites laterales coincidan: 1. Límite por la izquierda ($t \to 4^-$): $$\lim_{t \to 4^-} (-t^2 + at) = -(4)^2 + a(4) = -16 + 4a$$ 2. Límite por la derecha ($t \to 4^+$): $$\lim_{t \to 4^+} (-t + a) = -4 + a$$ Para que sea continua, ambos valores deben ser iguales: $$-16 + 4a = -4 + a$$ $$4a - a = 16 - 4$$ $$3a = 12 \implies a = 4$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si en los puntos de salto los límites por ambos lados y el valor de la función coinciden. $$\boxed{a = 4}$$

La variación o cambio del consumo por unidad de tiempo viene dada por la derivada de la función, $f'(t)$. Con $a = 4$, la función en el primer tramo es $f(t) = -t^2 + 4t$. Su derivada es: $$f'(t) = -2t + 4$$ El enunciado nos pregunta cuánto cambia el consumo en la segunda hora ($t = 2$): $$f'(2) = -2(2) + 4 = 0 \text{ litros/h}^2$$ Esto significa que justo a las 2 horas, el consumo ha dejado de crecer y se mantiene momentáneamente estable antes de empezar a bajar. Es lo que conocemos como un **punto crítico o estacionario**. $$\boxed{f'(2) = 0}$$

**b) ¿En qué momento se alcanza el máximo consumo? ¿Cuánto se está consumiendo en ese momento? ¿En qué periodo de tiempo el consumo supera los 8 litros/hora?** Para hallar el máximo, estudiamos el signo de la derivada de $f(t)$ en todo el intervalo $[0, 8]$ con $a = 4$: $$f'(t) = \begin{cases} -2t + 4 & \text{si } 0 \lt t \lt 4 \\ -1 & \text{si } 4 \lt t \lt 8 \end{cases}$$ Igualamos la primera rama a cero para encontrar puntos críticos: $-2t + 4 = 0 \implies t = 2$. Analizamos el signo de la derivada en una tabla: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,2) & 2 & (2,4) & 4 & (4,8) \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & | & - \\ \text{Consumo} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Unión} & \searrow \end{array}$$ El máximo consumo ocurre a las **2 horas** ($t = 2$). El valor del consumo en ese momento es: $$f(2) = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \text{ litros/hora}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos de una función pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del dominio. $$\boxed{\text{Máximo a las } 2 \text{ horas con un consumo de } 4 \text{ l/h}}$$

Se nos pregunta en qué periodo el consumo supera los 8 l/h. Según el estudio realizado en el paso anterior, el valor máximo absoluto que alcanza la función en todo el turno de 8 horas es de **4 litros/hora** (alcanzado en $t = 2$). Dado que el valor más alto de la función es 4, es matemáticamente imposible que el consumo supere el valor de 8 l/h en cualquier momento del turno bajo estas condiciones de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consumo no supera los 8 l/h en ningún momento.}}$$