Estudio de la afluencia de una estación de metro

**a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de usuarios de la estación a lo largo del domingo.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la función $N(x)$, debemos calcular su primera derivada $N'(x)$. La función es: $N(x) = -x^3 + 27x^2 - 180x + 1000$ Derivamos aplicando la regla de la potencia término a término: $$N'(x) = -3x^2 + 2 \cdot 27x - 180$$ $$N'(x) = -3x^2 + 54x - 180$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. La derivada de una constante es siempre 0.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente es nula (posibles máximos o mínimos): $$-3x^2 + 54x - 180 = 0$$ Para facilitar el cálculo, podemos dividir toda la ecuación por $-3$: $$x^2 - 18x + 60 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2}$$ Como $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$: $$x = \frac{18 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 9 \pm \sqrt{21}$$ Los valores aproximados son: - $x_1 = 9 - \sqrt{21} \approx 4,42$ - $x_2 = 9 + \sqrt{21} \approx 13,58$ Ambos valores pertenecen al dominio del estudio $[0, 24]$.

Analizamos el signo de $N'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 24]$. $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 4,42) & 4,42 & (4,42, 13,58) & 13,58 & (13,58, 24] \\\hline N'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\\hline \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ **Justificación de los signos:** - Para $x=1 \in (0, 4,42)$: $N'(1) = -3(1)^2 + 54(1) - 180 = -129 < 0$ (Decreciente). - Para $x=10 \in (4,42, 13,58)$: $N'(10) = -3(100) + 540 - 180 = 60 > 0$ (Creciente). - Para $x=15 \in (13,58, 24)$: $N'(15) = -3(225) + 54(15) - 180 = -45 < 0$ (Decreciente). ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente: } (4,42, 13,58) \\ &\text{Decreciente: } [0, 4,42) \cup (13,58, 24] \end{aligned}}$$

**b) ¿A qué hora el número de usuarios es máximo y a qué hora es mínimo? Calcular el número de usuarios correspondiente a dichas horas.** Debemos evaluar la función original $N(x)$ en los extremos del intervalo $[0, 24]$ y en los puntos críticos hallados para determinar los valores absolutos. 1. **En $x=0$ (Inicio del día):** $N(0) = -0^3 + 27(0)^2 - 180(0) + 1000 = 1000$ usuarios. 2. **En $x \approx 4,42$ (Mínimo relativo):** $N(4,42) = -(4,42)^3 + 27(4,42)^2 - 180(4,42) + 1000 \approx 645,5$ usuarios. 3. **En $x \approx 13,58$ (Máximo relativo):** $N(13,58) = -(13,58)^3 + 27(13,58)^2 - 180(13,58) + 1000 \approx 1030,5$ usuarios. 4. **En $x=24$ (Final del día):** $N(24) = -(24)^3 + 27(24)^2 - 180(24) + 1000 = -13824 + 15552 - 4320 + 1000 = -1592$ usuarios.

Comparando los valores obtenidos: - El **valor máximo** absoluto se alcanza a las $x \approx 13,58$ horas con aproximadamente **1030,5 usuarios**. - El **valor mínimo** absoluto (matemáticamente) se alcanza a las $x = 24$ horas con **-1592 usuarios**. *Nota sobre el contexto:* En un problema real, un número negativo de usuarios indicaría que la estación está vacía, pero basándonos estrictamente en la función dada: ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo: } 13,58h \text{ (aprox. 13:35h) con } 1030,5 \text{ usuarios} \\ &\text{Mínimo: } 24,00h \text{ con } -1592 \text{ usuarios} \end{aligned}}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de horas decimales a minutos, multiplica la parte decimal por 60. Por ejemplo, $0,58 \cdot 60 \approx 35$ minutos.