Probabilidad y Estadística 2022 Castilla y Leon
Probabilidad de cancelación de viajes: Probabilidad total y Teorema de Bayes
P5. (Estadística y probabilidad)
Una compañía ofrece seguros de cancelación de viajes a destinos exóticos: el 30 % de sus seguros se contratan para viajar al país A, el 50 % para viajar al país B y el resto para viajar al país C. Según estudios previos, se cancela el viaje en el 1 % de los seguros contratados para el país A, el 1.5 % de los contratados para B y el 3.5 % de los contratados para C. Elegido un seguro al azar,
a) Calcular la probabilidad de que sea un viaje que se cancela.
b) Si es un seguro de un viaje cancelado, calcular la probabilidad de que haya sido contratado para viajar al país C.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
- $A$: El seguro es para viajar al país A.
- $B$: El seguro es para viajar al país B.
- $C$: El seguro es para viajar al país C.
- $K$: El viaje se cancela.
- $\bar{K}$: El viaje no se cancela.
Datos del enunciado en términos de probabilidad:
- $P(A) = 0.30$
- $P(B) = 0.50$
- $P(C) = 1 - (0.30 + 0.50) = 0.20$
Probabilidades condicionadas (cancelación según el destino):
- $P(K|A) = 1\% = 0.01$
- $P(K|B) = 1.5\% = 0.015$
- $P(K|C) = 3.5\% = 0.035$
Podemos representar esta situación mediante un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, las ramas que parten de un mismo nodo siempre deben sumar 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de cancelación (Probabilidad Total)
**a) Calcular la probabilidad de que sea un viaje que se cancela.**
Para hallar la probabilidad total de que se cancele un viaje ($P(K)$), sumamos las probabilidades de todas las rutas que llevan al suceso $K$ (cancellation). Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(K) = P(A) \cdot P(K|A) + P(B) \cdot P(K|B) + P(C) \cdot P(K|C)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(K) = 0.30 \cdot 0.01 + 0.50 \cdot 0.015 + 0.20 \cdot 0.035$$
Realizamos los cálculos intermedios:
- $0.30 \cdot 0.01 = 0.003$
- $0.50 \cdot 0.015 = 0.0075$
- $0.20 \cdot 0.035 = 0.007$
Sumamos los resultados:
$$P(K) = 0.003 + 0.0075 + 0.007 = 0.0175$$
💡 **Tip:** La probabilidad total se obtiene recorriendo todos los caminos del árbol que terminan en el suceso deseado, multiplicando las probabilidades de las ramas de cada camino.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(K) = 0.0175 \text{ (o } 1.75\% \text{)}} $$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de que fuera al país C dado que se canceló (Bayes)
**b) Si es un seguro de un viaje cancelado, calcular la probabilidad de que haya sido contratado para viajar al país C.**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que el viaje ya se ha cancelado ($K$), cuál es la probabilidad de que el destino fuera el país $C$. Esto se resuelve aplicando el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|K) = \frac{P(C \cap K)}{P(K)} = \frac{P(C) \cdot P(K|C)}{P(K)}$$
Ya conocemos todos los valores necesarios:
- $P(C) \cdot P(K|C) = 0.20 \cdot 0.035 = 0.007$
- $P(K) = 0.0175$ (calculado en el apartado anterior)
Sustituimos y calculamos:
$$P(C|K) = \frac{0.007}{0.0175}$$
$$P(C|K) = 0.4$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "invertir" la probabilidad. Si conocemos $P(K|C)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(C|K)$. Siempre dividimos la probabilidad de la "rama favorable" por la "probabilidad total".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|K) = 0.4 \text{ (o } 40\% \text{)}} $$