Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Hallar el intervalo de confianza para la media $\mu$ al nivel de confianza del 96 %.** En primer lugar, extraemos los datos del enunciado para una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Varianza: $\sigma^2 = 2.25$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{2.25} = 1.5$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 4$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 96 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces $\alpha = 0.04$. 2. Dividimos el error entre dos: $\alpha/2 = 0.02$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.02 = 0.98$$ Consultando la tabla de la distribución normal, observamos que para una probabilidad de $0.98$, el valor más cercano es $z_{\alpha/2} \approx 2.05$ (o $2.055$ si interpolamos). 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para encerrar el área de probabilidad deseada. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$

La fórmula del error máximo admisible es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.05 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{100}} = 2.05 \cdot \frac{1.5}{10} = 2.05 \cdot 0.15 = 0.3075$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Calculamos los extremos: - Límite inferior: $4 - 0.3075 = 3.6925$ - Límite superior: $4 + 0.3075 = 4.3075$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (3.6925, \, 4.3075)}$$

**b) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que, al nivel de confianza del 95 %, el error máximo de estimación de la distancia media $\mu$ sea de 0.1 kilómetros?** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ (valor estándar para el 95 %). - Error máximo: $E = 0.1$. - Desviación típica: $\sigma = 1.5$ (se mantiene igual). - Tamaño muestral ($n$): Es nuestra incógnita. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un nivel de confianza del 95 %, el valor crítico $1.96$ es muy habitual y conviene memorizarlo, ya que $p(Z \le 1.96) = 0.975$.

Sustituimos los datos en la fórmula y despejamos $n$: $$0.1 = 1.96 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{n}}$$ Multiplicamos en cruz para despejar la raíz: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 1.5}{0.1}$$ $$\sqrt{n} = \frac{2.94}{0.1} = 29.4$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para obtener $n$: $$n = (29.4)^2 = 864.36$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de $0.1$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 865 \text{ estudiantes}}$$