Dimensiones de una matriz en un producto

Para resolver este ejercicio, debemos recordar la regla fundamental para que el producto de dos matrices sea posible: Si tenemos una matriz $M$ de dimensiones $m \times n$ y una matriz $N$ de dimensiones $p \times q$, el producto $M \cdot N$ sólo se puede realizar si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, es decir, si **$n = p$**. La matriz resultante tendrá las dimensiones **$m \times q$** (filas de la primera y columnas de la segunda). 💡 **Tip:** Una forma sencilla de recordarlo es escribir las dimensiones juntas: $(m \times \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{n} \times q) = (m \times q)$.

Llamemos $M$ a la matriz resultante del producto de $B$ y $C$. El enunciado nos dice que: $$M = B \cdot C \text{ tiene dimensiones } 4 \times 3$$ Ahora, el enunciado nos indica que el producto $A \cdot B \cdot C$ tiene dimensiones $2 \times 3$. Sustituyendo nuestra matriz auxiliar $M$, tenemos que el producto: $$A \cdot M \text{ tiene dimensiones } 2 \times 3$$

Sea $A$ una matriz de dimensiones $m \times n$. Planteamos la operación con las dimensiones conocidas: $$A_{m \times n} \cdot M_{4 \times 3} = (A \cdot M)_{2 \times 3}$$ Para que el producto se pueda realizar, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $M$: $$n = 4$$ Para que el resultado tenga 2 filas y 3 columnas, el número de filas de $A$ debe ser igual al número de filas del resultado: $$m = 2$$ Por lo tanto, la matriz $A$ debe tener **2 filas** y **4 columnas**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A \text{ es una matriz de dimensiones } 2 \times 4}$$