Cálculo de parámetros para extremos relativos

**Dada $f(x) = \frac{ax^2+1}{5x}$. Dar un valor de $a$ para que en $x = 1$ haya un extremo relativo de $f(x)$.** Para que una función derivable como $f(x)$ tenga un extremo relativo (un máximo o un mínimo) en un punto $x=x_0$, es necesario que su primera derivada en ese punto sea igual a cero. Es decir, buscamos que se cumpla: $$f'(1) = 0$$ Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{ax^2+1}{5x}$ utilizando la regla del cociente. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)$ es: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Identificamos el numerador $u$ y el denominador $v$: - $u = ax^2 + 1 \implies u' = 2ax$ - $v = 5x \implies v' = 5$ Ahora aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{(2ax) \cdot (5x) - (ax^2 + 1) \cdot 5}{(5x)^2}$$ Operamos en el numerador: $$f'(x) = \frac{10ax^2 - (5ax^2 + 5)}{25x^2}$$ $$f'(x) = \frac{10ax^2 - 5ax^2 - 5}{25x^2}$$ $$f'(x) = \frac{5ax^2 - 5}{25x^2}$$ Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador entre $5$: $$\boxed{f'(x) = \frac{ax^2 - 1}{5x^2}}$$

Imponemos la condición $f'(1) = 0$ sustituyendo $x = 1$ en la derivada obtenida: $$f'(1) = \frac{a(1)^2 - 1}{5(1)^2} = 0$$ Esto nos lleva a una ecuación sencilla: $$\frac{a - 1}{5} = 0$$ Para que una fracción sea cero, el numerador debe ser cero: $$a - 1 = 0$$ $$a = 1$$ 💡 **Tip:** Para confirmar que es un extremo relativo, deberíamos comprobar que hay un cambio de signo en $f'(x)$ alrededor de $x=1$ o que $f''(1) \neq 0$. Si $a=1$, $f'(x) = \frac{x^2-1}{5x^2}$, y claramente cambia de signo en $x=1$ (pasa de negativo a positivo, siendo un mínimo). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$