Problema de producción de cereales: Sistemas de ecuaciones

Lo primero que debemos hacer es identificar las incógnitas del problema basándonos en lo que nos preguntan: la cantidad de cada tipo de cereal. Definimos las variables como: - **$x$**: kilogramos de **maíz** producidos al día. - **$y$**: kilogramos de **trigo** producidos al día. - **$z$**: kilogramos de **centeno** producidos al día. 💡 **Tip:** Definir correctamente las variables con sus unidades (en este caso kg/día) es el primer paso fundamental para no confundir los datos después.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico creando una ecuación por cada restricción dada: 1. **Producción total:** Se deben producir exactamente 12 kg en total. $$x + y + z = 12$$ 2. **Mano de obra:** Hay 3 agricultores trabajando 8 horas cada uno, lo que suma un total de $3 \cdot 8 = 24$ horas. El maíz consume 2h/kg, el trigo 4h/kg y el centeno 1h/kg. $$2x + 4y + z = 24$$ 3. **Riego:** El sistema se usa 60 minutos. El maíz requiere 6 min/kg, el trigo 4 min/kg y el centeno 4 min/kg. $$6x + 4y + 4z = 60$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las unidades sean homogéneas en cada ecuación (todo en horas en la segunda, todo en minutos en la tercera).

Escribimos el sistema en forma matricial y aplicamos el método de Gauss para obtener una matriz escalonada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 & 4 & 1 & 24 \\ 6 & 4 & 4 & 60 \end{array}\right)$$ Realizamos las siguientes operaciones elementales por filas: - $F_2 \to F_2 - 2F_1$ - $F_3 \to F_3 - 6F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -12 \end{array}\right)$$ Ahora, para hacer el cero en la posición de la tercera fila, segunda columna: - $F_3 \to F_3 + F_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -12 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El método de Gauss consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal para simplificar el sistema.

A partir de la matriz escalonada, obtenemos el sistema equivalente y resolvemos de abajo hacia arriba: 1. **De la tercera fila:** $$-3z = -12 \implies z = \frac{-12}{-3} \implies \mathbf{z = 4}$$ 2. **De la segunda fila:** $$2y - z = 0 \implies 2y - 4 = 0 \implies 2y = 4 \implies \mathbf{y = 2}$$ 3. **De la primera fila:** $$x + y + z = 12 \implies x + 2 + 4 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies \mathbf{x = 6}$$ 💡 **Tip:** Una vez obtenidos los valores, sustitúyelos en las ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta.

Interpretamos los resultados en el contexto del problema: Cada día se producen en la parcela: - **6 kg de maíz** - **2 kg de trigo** - **4 kg de centeno** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 6 \text{ kg de maíz}, \quad y = 2 \text{ kg de trigo}, \quad z = 4 \text{ kg de centeno}}$$