Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) Sea $A^t$ la matriz transpuesta de $A$, indicar razonadamente cuáles de los productos de matrices $A \cdot B, B \cdot A^t, C \cdot D$ y $D \cdot A$ se pueden realizar. Determinar las dimensiones de las matrices resultantes en aquellos casos en los que sea posible realizar dichos productos.** Para que el producto de dos matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de **columnas** de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de **filas** de la segunda matriz ($N$). Primero, identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ tiene 3 filas y 2 columnas: $3 \times 2$. - $A^t$ (transpuesta) intercambia filas por columnas: $2 \times 3$. - $B$ tiene 2 filas y 2 columnas: $2 \times 2$. - $C$ tiene 1 fila y 2 columnas: $1 \times 2$. - $D$ tiene 2 filas y 2 columnas: $2 \times 2$. 💡 **Tip:** Si multiplicamos $M_{m \times n}$ por $N_{n \times p}$, el resultado es una matriz de dimensión $m \times p$.

Analizamos cada caso comparando las dimensiones internas: 1. **$A \cdot B$**: $(3 \times 2) \cdot (2 \times 2)$. - Las columnas de $A$ (2) coinciden con las filas de $B$ (2). - **Se puede realizar**. Dimensión resultante: **$3 \times 2$**. 2. **$B \cdot A^t$**: $(2 \times 2) \cdot (2 \times 3)$. - Las columnas de $B$ (2) coinciden con las filas de $A^t$ (2). - **Se puede realizar**. Dimensión resultante: **$2 \times 3$**. 3. **$C \cdot D$**: $(1 \times 2) \cdot (2 \times 2)$. - Las columnas de $C$ (2) coinciden con las filas de $D$ (2). - **Se puede realizar**. Dimensión resultante: **$1 \times 2$**. 4. **$D \cdot A$**: $(2 \times 2) \cdot (3 \times 2)$. - Las columnas de $D$ (2) **no coinciden** con las filas de $A$ (3). - **No se puede realizar**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} A \cdot B: & \text{ Posible, dim } 3 \times 2 \\ B \cdot A^t: & \text{ Posible, dim } 2 \times 3 \\ C \cdot D: & \text{ Posible, dim } 1 \times 2 \\ D \cdot A: & \text{ No es posible} \end{aligned}}$$

**b) Hallar la matriz $X$ que es solución de la ecuación $X \cdot B = D$.** Para resolver la ecuación $X \cdot B = D$, debemos aislar $X$. Como $B$ está multiplicando a la derecha, multiplicaremos por la inversa $B^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la igualdad: $$X \cdot B \cdot B^{-1} = D \cdot B^{-1}$$ Como $B \cdot B^{-1} = I$ (matriz identidad): $$X = D \cdot B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden importa. Si $B$ está a la derecha de $X$, su inversa debe aparecer a la derecha de $D$. Si estuviera a la izquierda ($B \cdot X = D$), la inversa iría a la izquierda ($X = B^{-1} \cdot D$).

Para calcular $B^{-1}$, primero hallamos su determinante $|B|$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (2)(-2) = 3 + 4 = 7$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ tiene inversa. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(B)$: - $Adj_{11} = 3$ - $Adj_{12} = -(-2) = 2$ - $Adj_{21} = -(2) = -2$ - $Adj_{22} = 1$ Entonces, $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. La matriz inversa es $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot (\text{Adj}(B))^t$: $$B^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede hallar rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Sustituimos $D$ y $B^{-1}$ en la expresión $X = D \cdot B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} (-1)(3) + (5)(2) & (-1)(-2) + (5)(1) \\ (6)(3) + (-2)(2) & (6)(-2) + (-2)(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -3 + 10 & 2 + 5 \\ 18 - 4 & -12 - 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 14 & -14 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento entre 7: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}}$$