Análisis de dispositivos móviles hackeados

**a) ¿Cuál es el número inicial de dispositivos hackeados?** El número inicial corresponde al momento en que comienza el estudio, es decir, cuando $t=0$ (año 2005). Para hallarlo, sustituimos $t=0$ en la función original: $$f(0) = \frac{0^2 + 15}{(0+1)^2} = \frac{15}{1^2} = 15.$$ Como el enunciado indica que el resultado está expresado en millones de aparatos, el número inicial es de **15 millones**. 💡 **Tip:** En problemas de contexto temporal, el valor inicial siempre se obtiene evaluando la función en $t=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{15 \text{ millones de dispositivos}}$$

**b) Calcular el número mínimo de dispositivos hackeados. ¿En qué año se alcanza ese mínimo?** Para hallar un mínimo, primero debemos encontrar los puntos críticos calculando la derivada $f'(t)$ e igualándola a cero. La función es un cociente $f(t) = \frac{u}{v}$, con $u = t^2+15$ y $v = (t+1)^2$. Usamos la regla de la derivada del cociente: $$f'(t) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Calculamos las derivadas de cada parte: - $u' = 2t$ - $v' = 2(t+1)$ Sustituimos: $$f'(t) = \frac{2t(t+1)^2 - (t^2+15) \cdot 2(t+1)}{((t+1)^2)^2}$$ Simplificamos factorizando $(t+1)$ en el numerador: $$f'(t) = \frac{(t+1) [2t(t+1) - 2(t^2+15)]}{(t+1)^4} = \frac{2t^2 + 2t - 2t^2 - 30}{(t+1)^3} = \frac{2t - 30}{(t+1)^3}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas un factor común en el numerador y denominador tras derivar un cociente (especialmente con potencias), simplifícalo antes de operar para facilitar los cálculos. $$\boxed{f'(t) = \frac{2t - 30}{(t+1)^3}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $t$ donde puede haber un extremo: $$f'(t) = 0 \implies \frac{2t - 30}{(t+1)^3} = 0$$ Una fracción es cero si su numerador es cero: $$2t - 30 = 0 \implies 2t = 30 \implies t = 15.$$ El punto crítico se encuentra en **$t=15$**.

Analizamos el signo de $f'(t)$ alrededor de $t=15$. Dado que el tiempo $t \ge 0$, el denominador $(t+1)^3$ siempre será positivo, por lo que el signo de la derivada depende solo del numerador $2t-30$. $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 15) & 15 & (15, +\infty)\\ \hline f'(t) & - & 0 & +\\ \hline \text{Comportamiento} & \searrow \text{ Decreciente} & \text{Mínimo} & \nearrow \text{ Creciente} \end{array}$$ - Para $t < 15$, $f'(t) < 0$ (la función decrece). - Para $t > 15$, $f'(t) > 0$ (la función crece). Esto confirma que en **$t = 15$** hay un **mínimo relativo**.

Calculamos el número de dispositivos sustituyendo $t=15$ en la función original: $$f(15) = \frac{15^2 + 15}{(15+1)^2} = \frac{225 + 15}{16^2} = \frac{240}{256} = 0.9375.$$ El número mínimo es **0.9375 millones** (o 937.500 dispositivos). Para saber el año, sumamos $t$ al año inicial (2005): $$\text{Año} = 2005 + 15 = 2020.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo: } 0.9375 \text{ millones de dispositivos en el año 2020}}$$

**c) Calcular el número de dispositivos que habrá hackeados en España a largo plazo.** Calcular el valor "a largo plazo" significa estudiar el comportamiento de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^2 + 15}{(t+1)^2} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^2 + 15}{t^2 + 2t + 1}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 2), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{1t^2}{1t^2} = 1.$$ Esto significa que a largo plazo habrá **1 millón** de dispositivos hackeados. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Esto representa una asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1 \text{ millón de dispositivos}}$$