Cálculo de parámetros y área bajo una parábola

**a) Determinar $a, b$ y $c$. Justificar la respuesta.** Disponemos de tres datos para hallar las tres incógnitas ($a, b, c$): 1. La función pasa por $(0, 20)$, por lo que $f(0) = 20$. 2. Alcanza un máximo en $x = 40$. Esto implica que la derivada en ese punto es cero: $f'(40) = 0$. 3. El valor del máximo es 36, por lo que el punto $(40, 36)$ pertenece a la gráfica: $f(40) = 36$. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$f'(x) = 2ax + b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función derivable tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto, su derivada en dicho punto debe ser cero.

Aplicamos las condiciones anteriores: 1. **Desde $f(0) = 20$:** $$a(0)^2 + b(0) + c = 20 \implies \mathbf{c = 20}$$ 2. **Desde $f'(40) = 0$:** $$2a(40) + b = 0 \implies 80a + b = 0 \implies b = -80a$$ 3. **Desde $f(40) = 36$:** Sustituimos $c = 20$ y $b = -80a$: $$a(40)^2 + (-80a)(40) + 20 = 36$$ $$1600a - 3200a + 20 = 36$$ $$-1600a = 16$$ $$a = -\frac{16}{1600} \implies \mathbf{a = -0.01}$$ Ahora hallamos $b$: $$b = -80(-0.01) \implies \mathbf{b = 0.8}$$ Por tanto, la función es **$f(x) = -0.01x^2 + 0.8x + 20$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -0.01, \quad b = 0.8, \quad c = 20}$$

**b) Calcular el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 60$.** Para calcular el área mediante una integral definida, debemos comprobar si la función cruza el eje de abscisas ($f(x)=0$) en el intervalo $[0, 60]$. $$-0.01x^2 + 0.8x + 20 = 0$$ Multiplicamos por $-100$ para facilitar el cálculo: $$x^2 - 80x - 2000 = 0$$ $$x = \frac{80 \pm \sqrt{(-80)^2 - 4(1)(-2000)}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 8000}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{14400}}{2}$$ $$x = \frac{80 \pm 120}{2} \implies x_1 = 100, \quad x_2 = -20$$ Como ninguna de las raíces está en el intervalo $(0, 60)$ y sabemos que el máximo es positivo (36), la función es **positiva** en todo el intervalo de integración. 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, deberíamos dividir la integral en varios recintos para que las áreas negativas no se resten con las positivas.

El área viene dada por la integral: $$A = \int_{0}^{60} (-0.01x^2 + 0.8x + 20) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = -0.01 \frac{x^3}{3} + 0.8 \frac{x^2}{2} + 20x = -\frac{x^3}{300} + 0.4x^2 + 20x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = F(60) - F(0)$$ $$F(60) = -\frac{60^3}{300} + 0.4(60)^2 + 20(60) = -\frac{216000}{300} + 0.4(3600) + 1200$$ $$F(60) = -720 + 1440 + 1200 = 1920$$ $$F(0) = 0$$ Por tanto: $$A = 1920 - 0 = 1920 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1920 \text{ unidades cuadradas}}$$