Probabilidad y Estadística 2022 Castilla y Leon
Probabilidad: Elección de Grado y Procedencia del Estudiante
Un estudio realizado sobre los estudiantes de las universidades de Castilla y León determina que el 40 % de los estudiantes procede de la misma provincia en la que está situada la universidad, el 20 % procede de otras provincias de Castilla y León y el resto procede de otras comunidades autónomas. Además, cursan el grado elegido en primera opción el 50 % de los estudiantes que proceden de la misma provincia que la universidad, el 25 % de los procedentes de otras provincias de Castilla y León y el 65 % de los procedentes de otras comunidades autónomas. Se elige al azar un estudiante de las universidades de Castilla y León.
a) Calcular la probabilidad de que esté cursando el grado elegido en primera opción.
b) Si se ha elegido un estudiante que no está cursando el grado elegido en primera opción, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de otra comunidad autónoma diferente a Castilla y León?
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos según la procedencia del estudiante y si está cursando su primera opción.
**Sucesos de procedencia:**
- $M$: El estudiante procede de la **misma provincia**.
- $C$: El estudiante procede de **otras provincias de Castilla y León**.
- $A$: El estudiante procede de **otras comunidades autónomas**.
**Sucesos de elección de grado:**
- $G$: El estudiante cursa el grado elegido en **primera opción**.
- $\bar{G}$: El estudiante **no** cursa el grado elegido en primera opción (suceso contrario).
**Datos del enunciado:**
- $P(M) = 40\% = 0.40$
- $P(C) = 20\% = 0.20$
- $P(A) = 1 - (0.40 + 0.20) = 0.40$
- $P(G|M) = 50\% = 0.50$
- $P(G|C) = 25\% = 0.25$
- $P(G|A) = 65\% = 0.65$
Organizamos esta información en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de cursar primera opción
**a) Calcular la probabilidad de que esté cursando el grado elegido en primera opción.**
Para calcular $P(G)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de llegar al suceso $G$ a través de cada una de las tres procedencias posibles:
$$P(G) = P(M) \cdot P(G|M) + P(C) \cdot P(G|C) + P(A) \cdot P(G|A)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(G) = 0.40 \cdot 0.50 + 0.20 \cdot 0.25 + 0.40 \cdot 0.65$$
Realizamos los cálculos intermedios:
$$P(G) = 0.20 + 0.05 + 0.26$$
$$P(G) = 0.51$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.51}$$
(Hay un 51 % de probabilidad de que el estudiante curse su primera opción).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si se ha elegido un estudiante que no está cursando el grado elegido en primera opción, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de otra comunidad autónoma diferente a Castilla y León?**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido el suceso $\bar{G}$ (no primera opción), queremos saber la probabilidad de que sea de otra comunidad ($A$). Calculamos $P(A|\bar{G})$.
Usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|\bar{G}) = \frac{P(A \cap \bar{G})}{P(\bar{G})}$$
1. **Cálculo del denominador $P(\bar{G})$:**
Es la probabilidad del suceso contrario a $G$:
$$P(\bar{G}) = 1 - P(G) = 1 - 0.51 = 0.49$$
2. **Cálculo del numerador $P(A \cap \bar{G})$:**
Corresponde a la rama del árbol que pasa por Otras CCAA y luego No Primera Opción:
$$P(A \cap \bar{G}) = P(A) \cdot P(\bar{G}|A) = 0.40 \cdot (1 - 0.65) = 0.40 \cdot 0.35 = 0.14$$
3. **Resultado final:**
$$P(A|\bar{G}) = \frac{0.14}{0.49}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 0.07 (o multiplicando por 100 y simplificando):
$$\frac{14}{49} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{G}) = \frac{2}{7} \approx 0.2857}$$