Distribución Normal: Pesos de huevos y medias muestrales

**a) Teniendo en cuenta que se consideran de tamaño XL los huevos que pesan más de 73 gramos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar huevos de tamaño XL?** Primero, definimos la variable aleatoria que representa el peso de un huevo: $X \equiv$ "Peso de un huevo en gramos". El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(67, 15)$$ Donde la media es $\mu = 67$ y la desviación típica es $\sigma = 15$. Queremos calcular la probabilidad de que un huevo sea de tamaño XL, es decir, que su peso sea superior a $73$ gramos: $P(X \gt 73)$. Para poder usar la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, debemos **tipificar** la variable usando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \gt 73) = P\left(Z \gt \frac{73 - 67}{15}\right) = P\left(Z \gt \frac{6}{15}\right) = P(Z \gt 0.4)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite transformar cualquier normal en una estándar $Z$ para poder buscar los valores en las tablas estadísticas.

Como la tabla de la normal estándar nos da probabilidades del tipo $P(Z \le z)$, transformamos nuestra expresión: $$P(Z \gt 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$$ Buscamos el valor $0.4$ en la tabla de la distribución $N(0, 1)$: $$P(Z \le 0.4) = 0.6554$$ Calculamos el resultado final del apartado: $$P(X \gt 73) = 1 - 0.6554 = 0.3446$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 73) = 0.3446}$$ Esto significa que hay un **34.46%** de probabilidad de que un huevo sea de tamaño XL.

**b) Si se elige al azar una muestra de 6 huevos, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra se encuentre entre 53 y 63 gramos (tamaño M).** Ahora no trabajamos con un solo huevo, sino con la **media de una muestra** de tamaño $n = 6$. Si la población original $X$ es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ también es normal con la misma media pero con una desviación típica menor (error típico): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos los nuevos parámetros: - Media: $\mu = 67$ - Desviación típica de la media: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{6}} \approx \frac{15}{2.4495} \approx 6.1237$ Por tanto, la media muestral sigue una: $$\bar{X} \sim N(67, 6.1237)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al tomar muestras, la dispersión de la media es siempre menor que la de los individuos por separado.

Queremos hallar $P(53 \le \bar{X} \le 63)$. Tipificamos ambos valores usando la nueva desviación típica: $$P(53 \le \bar{X} \le 63) = P\left(\frac{53 - 67}{6.1237} \le Z \le \frac{63 - 67}{6.1237}\right)$$ $$= P(-2.286 \le Z \le -0.653)$$ Redondeamos a dos decimales para usar la tabla: $P(-2.29 \le Z \le -0.65)$. Por la simetría de la campana de Gauss: $$P(-2.29 \le Z \le -0.65) = P(0.65 \le Z \le 2.29)$$ $$= P(Z \le 2.29) - P(Z \le 0.65)$$ Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 2.29) = 0.9890$ - $P(Z \le 0.65) = 0.7422$ Restamos los valores: $$0.9890 - 0.7422 = 0.2468$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(53 \le \bar{X} \le 63) = 0.2468}$$