Conmutatividad de matrices

Para que dos matrices $A$ y $B$ conmuten, debe cumplirse la propiedad distributiva en ambos sentidos para el producto, es decir: $$A \cdot B = B \cdot A$$ En general, el producto de matrices **no es conmutativo**, por lo que esta igualdad solo ocurre para valores específicos de sus elementos. En este ejercicio, debemos calcular ambos productos e igualar los elementos resultantes uno a uno. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda: $(A \cdot B)_{ij} = \sum a_{ik} \cdot b_{kj}$.

Calculamos el producto de la matriz $A$ por la matriz $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot a + 1 \cdot 1) & (1 \cdot b + 1 \cdot 1) \\ (1 \cdot a + 0 \cdot 1) & (1 \cdot b + 0 \cdot 1) \end{pmatrix}$$ Operando los elementos: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} a + 1 & b + 1 \\ a & b \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} a + 1 & b + 1 \\ a & b \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos el producto en el orden inverso, es decir, $B$ por $A$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a \cdot 1 + b \cdot 1) & (a \cdot 1 + b \cdot 0) \\ (1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \end{pmatrix}$$ Operando los elementos: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} a + b & a \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B \cdot A = \begin{pmatrix} a + b & a \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Igualamos las dos matrices resultantes componente a componente para que se cumpla $A \cdot B = B \cdot A$: $$\begin{pmatrix} a + 1 & b + 1 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & a \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $a + 1 = a + b$ 2) $b + 1 = a$ 3) $a = 2$ 4) $b = 1$ Resolvemos el sistema: - De la ecuación 3), obtenemos directamente: **$a = 2$**. - De la ecuación 4), obtenemos directamente: **$b = 1$**. Ahora comprobamos que estos valores cumplen las ecuaciones 1) y 2): - Para la ecuación 1): $2 + 1 = 2 + 1 \implies 3 = 3$ (Se cumple). - Para la ecuación 2): $1 + 1 = 2 \implies 2 = 2$ (Se cumple). 💡 **Tip:** Siempre es necesario comprobar que los valores obtenidos satisfacen todas las ecuaciones del sistema para asegurar que la solución es consistente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$