Estudio de extremos relativos en funciones polinómicas

**Justificar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: la función $f(x) = -x^3$ tiene un máximo relativo en el punto $x = 0$.** Para comprobar si existe un máximo relativo en un punto, primero debemos encontrar los puntos críticos de la función. Para ello, calculamos la primera derivada de $f(x) = -x^3$: $$f'(x) = -3x^2$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente de la recta tangente es nula (posibles extremos): $$-3x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$$ En el punto $x = 0$ existe un punto crítico, pero esto no garantiza que sea un máximo relativo; podría ser un mínimo o un punto de inflexión. 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde $f'(x) = 0$ o la derivada no existe. Para que sea un máximo relativo, la función debe pasar de ser creciente a decreciente en dicho punto.

Analizamos el signo de $f'(x) = -3x^2$ en los intervalos que define el punto crítico $x = 0$ para determinar el comportamiento de la función. Recordamos que para cualquier número real $x \neq 0$, $x^2$ siempre es positivo. Al multiplicarlo por $-3$, el resultado será siempre negativo. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline -3 & - & - & -\\ x^2 & + & 0 & +\\ \hline f'(x) = -3x^2 & - & 0 & - \end{array}$$ Como se puede observar: - En el intervalo $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo $(0, +\infty)$, $f'(x) < 0$, por lo que la función sigue siendo **decreciente**. 💡 **Tip:** Si el signo de la primera derivada es el mismo a ambos lados del punto crítico, no hay un extremo relativo (máximo o mínimo), sino un punto de inflexión con tangente horizontal.

Para que en $x = 0$ existiera un máximo relativo, la función tendría que ser creciente antes del punto ($f'(x) > 0$) y decreciente después del punto ($f'(x) < 0$). Sin embargo, hemos comprobado que la función es estrictamente decreciente tanto a la izquierda como a la derecha de $x = 0$. Por lo tanto, el punto $(0, 0)$ es un **punto de inflexión** y no un máximo relativo. Podemos verificarlo con la segunda derivada: $$f''(x) = -6x \implies f''(0) = 0$$ Al ser cero, estudiamos la tercera derivada: $$f'''(x) = -6 \implies f'''(0) = -6 \neq 0$$ Al ser la primera derivada no nula de orden impar (orden 3), confirmamos que es un punto de inflexión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es FALSA. En } x = 0 \text{ la función tiene un punto de inflexión.}}$$