Optimización lineal con restricciones

**a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1.25 puntos)** Para representar la región factible, primero transformamos las desigualdades en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. $r_1: -2x + 4 = y \implies 2x + y = 4$ 2. $r_2: x + 2y = 2$ 3. $r_3: y = 3$ (recta horizontal) 4. $r_4: x = 0$ (eje de ordenadas $OY$) Calculamos un par de puntos para cada recta: - Para $r_1$: Si $x=0, y=4$; si $y=0, x=2$. Pasa por $(0, 4)$ y $(2, 0)$. - Para $r_2$: Si $x=0, y=1$; si $y=0, x=2$. Pasa por $(0, 1)$ y $(2, 0)$. 💡 **Tip:** Para representar una recta basta con dar dos valores a $x$ y calcular su correspondiente $y$. Los puntos de corte con los ejes suelen ser los más sencillos.

Para saber qué semiplano corresponde a cada inecuación, tomamos un punto de prueba que no esté en la recta, por ejemplo el origen $(0,0)$: - $-2(0) + 4 \ge 0 \implies 4 \ge 0$ (Verdadero). La región incluye al origen respecto a $r_1$. - $0 + 2(0) \ge 2 \implies 0 \ge 2$ (Falso). La región **no** incluye al origen respecto a $r_2$. - $0 \le 3$ (Verdadero). La región está por debajo de $r_3$. - $x \ge 0$. La región está a la derecha del eje $OY$. La intersección de estos semiplanos define un polígono cerrado.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que delimitan la región: - **Vértice $A$** ($r_3 \cap r_4$): $$\begin{cases} y = 3 \\ x = 0 \end{cases} \implies \boxed{A(0, 3)}$$ - **Vértice $B$** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = 3 \end{cases} \implies 3 = -2x + 4 \implies 2x = 1 \implies \boxed{B(0.5, 3)}$$ - **Vértice $C$** ($r_1 \cap r_2$): $$\begin{cases} y = -2x + 4 \\ x + 2y = 2 \end{cases} \implies x + 2(-2x + 4) = 2 \implies x - 4x + 8 = 2 \implies -3x = -6 \implies x = 2.$$ Sustituyendo $x=2$: $y = -2(2) + 4 = 0$. Por tanto: $\boxed{C(2, 0)}$ - **Vértice $D$** ($r_2 \cap r_4$): $$\begin{cases} x + 2y = 2 \\ x = 0 \end{cases} \implies 2y = 2 \implies y = 1 \implies \boxed{D(0, 1)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son las soluciones de los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cruzan en cada esquina de la región factible.

**b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0.25 puntos)** Para optimizar $f(x, y) = 8x + 3y$, evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados: - En $A(0, 3)$: $f(0, 3) = 8(0) + 3(3) = 9$ - En $B(0.5, 3)$: $f(0.5, 3) = 8(0.5) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ - En $C(2, 0)$: $f(2, 0) = 8(2) + 3(0) = 16$ - En $D(0, 1)$: $f(0, 1) = 8(0) + 3(1) = 3$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que, si existe una solución óptima, esta debe encontrarse en un vértice de la región factible o en un lado que una dos vértices.

Comparando los resultados obtenidos en el paso anterior: - El valor máximo es **16** y se alcanza en el punto **$(2, 0)$**. - El valor mínimo es **3** y se alcanza en el punto **$(0, 1)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 16 \text{ en } (2, 0); \quad \text{Mínimo: } 3 \text{ en } (0, 1)}$$