Sistema de ecuaciones: Premios Goya

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos premios Goya han recibido cada una. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en lo que nos pide el problema: - $x$: número de premios Goya recibidos por **Isabel**. - $y$: número de premios Goya recibidos por **Carmen**. - $z$: número de premios Goya recibidos por **Enma**. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El número total de premios... es de 15": $$x + y + z = 15$$ 2. "Si aumentamos en un premio la cantidad de Isabel ($x+1$) obtenemos el triple de los de Enma ($3z$)": $$x + 1 = 3z \implies x - 3z = -1$$ 3. "Los que recibe Enma ($z$) equivalen a las tres cuartas partes de los de Carmen ($\frac{3}{4}y$)": $$z = \frac{3}{4}y \implies 4z = 3y \implies 3y - 4z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 15 \\ x - 3z = -1 \\ 3y - 4z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Para resolver el sistema, utilizaremos el **método de sustitución**, ya que las ecuaciones segunda y tercera permiten despejar variables de forma sencilla en función de $z$. De la segunda ecuación, despejamos $x$: $$x = 3z - 1$$ De la tercera ecuación, despejamos $y$: $$3y = 4z \implies y = \frac{4}{3}z$$ Ahora, sustituimos ambas expresiones en la primera ecuación ($x + y + z = 15$).

Sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación del total: $$(3z - 1) + \left(\frac{4}{3}z\right) + z = 15$$ Sumamos los términos con $z$ y pasamos el $-1$ al otro lado sumando: $$3z + z + \frac{4}{3}z = 15 + 1$$ $$4z + \frac{4}{3}z = 16$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $3$: $$3 \cdot (4z) + 3 \cdot \left(\frac{4}{3}z\right) = 3 \cdot 16$$ $$12z + 4z = 48$$ $$16z = 48$$ $$z = \frac{48}{16} = 3$$ Por lo tanto, **Enma tiene 3 premios Goya**.

Una vez conocido el valor de $z = 3$, calculamos el resto de las variables sustituyendo en las expresiones que despejamos anteriormente: Para **Isabel** ($x$): $$x = 3z - 1 = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8$$ Para **Carmen** ($y$): $$y = \frac{4}{3}z = \frac{4}{3}(3) = 4$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar el resultado en el enunciado original: $8 + 4 + 3 = 15$ (Correcto), $8+1 = 3 \cdot 3$ (Correcto), $3 = \frac{3}{4} \cdot 4$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Isabel: 8 Goyas, Carmen: 4 Goyas, Enma: 3 Goyas}}$$