Continuidad y análisis de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x = -1$? (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. En $x = -1$, analizamos el salto entre las ramas correspondientes: 1. **Límite por la izquierda ($x \lt -1$):** Usamos la primera rama. $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (2x + 2t) = 2(-1) + 2t = -2 + 2t$$ 2. **Límite por la derecha y valor de la función ($x \ge -1$):** Usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = t + 1$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$-2 + 2t = t + 1$$ $$2t - t = 1 + 2$$ $$t = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que no haya un salto en el dibujo de la función, las dos piezas deben "unirse" en el mismo valor de $y$ justo en el punto de separación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 3}$$

**b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1, \infty)$. (0.5 puntos)** En el intervalo $(1, \infty)$, la función viene definida por la tercera rama: $$f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x - 1$$ Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada $f'(x)$ y buscamos sus puntos críticos igualando a cero: $$f'(x) = -3x^2 + 8x + 3$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $-3x^2 + 8x + 3 = 0$: $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-3)(3)}}{2(-3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{-6} = \frac{-8 \pm 10}{-6}$$ Obtenemos dos posibles valores: - $x_1 = \frac{-8 + 10}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$ - $x_2 = \frac{-8 - 10}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$ Como el enunciado nos restringe al intervalo $(1, \infty)$, descartamos $x = -1/3$ porque no pertenece al intervalo. El único punto crítico a considerar es **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Un extremo relativo solo puede existir en puntos donde la derivada es cero o no existe. Siempre comprueba si el valor obtenido cae dentro del intervalo de la rama que estás analizando.

**c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1, \infty)$. (0.5 puntos)** Para determinar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x) = -3x^2 + 8x + 3$ en el intervalo $(1, \infty)$, usando el punto crítico $x = 3$ para dividir el dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline \text{Función} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ **Comprobación de signos:** - Para $x = 2 \in (1, 3)$: $f'(2) = -3(2)^2 + 8(2) + 3 = -12 + 16 + 3 = 7 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x = 4 \in (3, \infty)$: $f'(4) = -3(4)^2 + 8(4) + 3 = -48 + 32 + 3 = -13 \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado (Crecimiento/Decrecimiento):** $$\boxed{\text{Creciente en } (1, 3) \text{ y decreciente en } (3, \infty)}$$

Retomamos el apartado **b)** para dar la solución completa del extremo relativo. Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 3$, existe un **máximo relativo**. Calculamos su coordenada $y$ sustituyendo en $f(x)$: $$f(3) = -(3)^3 + 4(3)^2 + 3(3) - 1 = -27 + 36 + 9 - 1 = 17$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en el punto } (3, 17)}$$ 💡 **Tip:** No olvides que un "extremo" suele referirse tanto al valor de $x$ como al punto completo $(x, f(x))$.