Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para hallar los parámetros $a, b$ y $c$, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Disponemos de tres datos clave: 1. **La función pasa por el punto $(2, 1)$**: Esto significa que cuando $x = 2$, el valor de la función es $f(2) = 1$. 2. **Hay un mínimo en el punto $(2, 1)$**: En los extremos relativos (máximos o mínimos), la derivada de la función es igual a cero. Por tanto, $f'(2) = 0$. 3. **La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es $-12$**: La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada en ese punto. Así pues, $f'(0) = -12$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo relativo de una función derivable, entonces $f'(x_0) = 0$ y además el punto cumple la ecuación de la función $f(x_0) = y_0$.

Derivamos la función general $f(x) = ax^3 + bx + c$ para poder aplicar las condiciones de las pendientes: $$f'(x) = 3ax^2 + b$$ 💡 **Tip:** La derivada de una constante es 0 ($c' = 0$) y la derivada de una potencia $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$.

Utilizamos el dato de la pendiente en $x = 0$. Sabemos que $f'(0) = -12$: $$f'(0) = 3a(0)^2 + b = -12$$ $$0 + b = -12 \implies b = -12$$ Ya tenemos el primer parámetro: **$b = -12$**.

Utilizamos la condición del mínimo en $x = 2$. Sabemos que $f'(2) = 0$ y ya conocemos el valor de $b$: $$f'(2) = 3a(2)^2 + b = 0$$ $$3a(4) + (-12) = 0$$ $$12a - 12 = 0$$ $$12a = 12 \implies a = 1$$ Ya tenemos el segundo parámetro: **$a = 1$**.

Finalmente, utilizamos el hecho de que el punto $(2, 1)$ pertenece a la gráfica de la función, es decir, $f(2) = 1$. Sustituimos los valores de $a=1$ y $b=-12$ en la función original: $$f(2) = a(2)^3 + b(2) + c = 1$$ $$1(8) + (-12)(2) + c = 1$$ $$8 - 24 + c = 1$$ $$-16 + c = 1$$ $$c = 1 + 16 \implies c = 17$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -12, \quad c = 17}$$