Probabilidad de superar pruebas en un concurso

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos según la elección de la prueba y si esta se supera o no: - $A$: El participante elige la prueba A. - $B$: El participante elige la prueba B. - $C$: El participante elige la prueba C. - $S$: El participante supera la prueba. - $\bar{S}$: El participante **no** supera la prueba. Datos extraídos del enunciado: - $P(A) = 0.40$ - $P(B) = 0.25$ - Como han de elegir una entre las tres, $P(C) = 1 - (0.40 + 0.25) = 0.35$ Probabilidades condicionadas: - $P(S|A) = 0.50 \implies P(\bar{S}|A) = 0.50$ - $P(\bar{S}|B) = 0.45 \implies P(S|B) = 0.55$ - $P(S|C) = 0.60 \implies P(\bar{S}|C) = 0.40$ Representamos esta información en un **diagrama de árbol**:

**a) Elegido un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya superado la prueba? (0.75 puntos)** Para calcular la probabilidad de superar la prueba, $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso $S$ depende de qué prueba se haya elegido previamente (A, B o C). La fórmula es: $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B) + P(C) \cdot P(S|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S) = (0.40 \cdot 0.50) + (0.25 \cdot 0.55) + (0.35 \cdot 0.60)$$ $$P(S) = 0.20 + 0.1375 + 0.21$$ $$P(S) = 0.5475$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.5475}$$ (La probabilidad de que un participante supere la prueba es del $54.75 \%$).

**b) Si se sabe que un participante no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la prueba A? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad "a posteriori", por lo que utilizaremos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(A|\bar{S})$. La fórmula de Bayes es: $$P(A|\bar{S}) = \frac{P(A \cap \bar{S})}{P(\bar{S})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{S}|A)}{P(\bar{S})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{S})$, que es la probabilidad de no superar la prueba. Podemos usar el suceso contrario: $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.5475 = 0.4525$$ Ahora, calculamos el numerador (probabilidad de elegir A y no superar la prueba): $$P(A \cap \bar{S}) = P(A) \cdot P(\bar{S}|A) = 0.40 \cdot 0.50 = 0.20$$ Finalmente, aplicamos la división: $$P(A|\bar{S}) = \frac{0.20}{0.4525} \approx 0.442$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (no superar la prueba) y queremos saber la probabilidad de una de las causas posibles (elegir la prueba A). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{S}) \approx 0.442}$$ (La probabilidad es aproximadamente de $0.442$ o $44.2 \%$).