Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Intervalo de confianza y tamaño de muestra para la media
El tiempo empleado para resolver un problema de Estadística sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 6.4$ minutos. Se ha tomado una muestra de 9 personas y los tiempos empleados en resolver el problema han sido 12, 11, 10, 9, 7, 12, 11, 8 y 10 minutos.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo empleado en resolver el problema con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)
b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 3 minutos. (1 punto)
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline \textbf{z} & \textbf{0.00} & \textbf{0.01} & \textbf{0.02} & \textbf{0.03} & \textbf{0.04} & \textbf{0.05} & \textbf{0.06} & \textbf{0.07} & \textbf{0.08} & \textbf{0.09} \\
\hline \textbf{2.0} & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\
\textbf{2.1} & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificar los datos y calcular la media muestral
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo empleado en resolver el problema con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)**
Primero, identificamos los datos que nos da el enunciado:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 6.4$
- Tamaño de la muestra: $n = 9$
- Datos de la muestra: $12, 11, 10, 9, 7, 12, 11, 8, 10$
Calculamos la media muestral ($\bar{x}$):
$$\bar{x} = \frac{12 + 11 + 10 + 9 + 7 + 12 + 11 + 8 + 10}{9} = \frac{90}{9} = 10$$
💡 **Tip:** La media muestral es la suma de todos los valores dividida por el número total de datos.
$$\boxed{\bar{x} = 10}$$
Paso 2
Determinar el valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$.
Calculamos el nivel de significación $\alpha$:
$$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$$
Dividimos por dos para encontrar el área en cada cola:
$$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015$$
Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850$.
Mirando la tabla proporcionada, buscamos el valor **0.9850**. Observamos que se encuentra en la fila **2.1** y en la columna **0.07**.
Por lo tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$
Paso 3
Calcular el intervalo de confianza
La fórmula para el intervalo de confianza de la media es:
$$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{6.4}{\sqrt{9}} = 2.17 \cdot \frac{6.4}{3}$$
$$E = 2.17 \cdot 2.1333 = 4.6293$$
Ahora calculamos los extremos del intervalo:
- Límite inferior: $10 - 4.6293 = 5.3707$
- Límite superior: $10 + 4.6293 = 14.6293$
💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo siempre se centra en la media muestral y su amplitud depende del error.
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = (5.3707, 14.6293)}$$
Paso 4
Planteamiento para el tamaño mínimo de la muestra
**b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 3 minutos. (1 punto)**
Nos piden que el error $E$ sea menor que 3. Manteniendo el mismo nivel de confianza ($97\%$), el valor crítico sigue siendo $z_{\alpha/2} = 2.17$.
La fórmula del error es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 3$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$2.17 \cdot \frac{6.4}{\sqrt{n}} < 3$$
💡 **Tip:** En estos problemas, el tamaño de la muestra $n$ es la incógnita y siempre debe ser un número entero. Si sale decimal, siempre redondeamos al siguiente entero superior.
Paso 5
Resolución de la inecuación para $n$
Despejamos $\sqrt{n}$ de la inecuación:
$$2.17 \cdot 6.4 < 3 \cdot \sqrt{n}$$
$$13.888 < 3 \sqrt{n}$$
$$\frac{13.888}{3} < \sqrt{n}$$
$$4.6293 < \sqrt{n}$$
Elevamos al cuadrado ambos lados para despejar $n$:
$$n > (4.6293)^2$$
$$n > 21.43$$
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe ser mayor que 21.43, el primer número entero que cumple la condición es $22$.
✅ **Resultado (Tamaño mínimo):**
$$\boxed{n = 22}$$