Álgebra 2022 Castilla la Mancha
Sistema de ecuaciones: Precios de modelos de automóviles
3. Un concesionario de automóviles tiene en oferta tres modelos de coche: uno deportivo, otro familiar y el tercero es un monovolumen. El mes pasado se vendieron 10 deportivos, 6 familiares y 3 monovolúmenes y se obtuvieron 851000 euros. El coche deportivo vale 2000 euros más que el familiar. Por 5 deportivos vendidos se obtienen 13000 euros más que si se venden 6 monovolúmenes.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio de cada uno de los tres modelos. (0.75 puntos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento de la primera ecuación
**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio de cada uno de los tres modelos. (0.75 puntos)**
Primero, definimos las incógnitas que representan el precio de cada modelo de coche:
- $x$: Precio del modelo **deportivo** (en euros).
- $y$: Precio del modelo **familiar** (en euros).
- $z$: Precio del modelo **monovolumen** (en euros).
Traducimos la primera frase: "10 deportivos, 6 familiares y 3 monovolúmenes sumaron 851000 euros":
$$10x + 6y + 3z = 851000$$
Paso 2
Planteamiento de las ecuaciones restantes
Traducimos la información sobre las relaciones de precios:
1. "El deportivo vale 2000 euros más que el familiar":
$$x = y + 2000 \implies x - y = 2000$$
2. "Por 5 deportivos se obtienen 13000 euros más que por 6 monovolúmenes":
$$5x = 6z + 13000 \implies 5x - 6z = 13000$$
💡 **Tip:** Al plantear problemas de texto, asegúrate de que todas las cantidades estén en la misma unidad (en este caso, euros).
Paso 3
Sistema de ecuaciones completo
Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar el sistema:
$$\boxed{\begin{cases} 10x + 6y + 3z = 851000 \\ x - y = 2000 \\ 5x - 6z = 13000 \end{cases}}$$
Paso 4
Elección del método de resolución
**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)**
Para resolverlo, utilizaremos el **método de sustitución**, ya que en la segunda y tercera ecuación es muy sencillo despejar $y$ y $z$ en función de $x$:
- De la segunda ecuación: $y = x - 2000$
- De la tercera ecuación: $6z = 5x - 13000 \implies z = \dfrac{5x - 13000}{6}$
Sustituimos estas expresiones en la primera ecuación:
$$10x + 6(x - 2000) + 3\left(\frac{5x - 13000}{6}\right) = 851000$$
Paso 5
Resolución de la ecuación para x
Simplificamos la ecuación:
$$10x + 6x - 12000 + \frac{5x - 13000}{2} = 851000$$
$$16x - 12000 + \frac{5x - 13000}{2} = 851000$$
Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por 2:
$$32x - 24000 + 5x - 13000 = 1702000$$
$$37x - 37000 = 1702000$$
$$37x = 1702000 + 37000$$
$$37x = 1739000$$
$$x = \frac{1739000}{37} = 47000$$
El precio del coche deportivo es **47000 euros**.
Paso 6
Cálculo de los precios restantes
Ahora calculamos $y$ y $z$ sustituyendo el valor de $x$:
- Para el coche familiar ($y$):
$$y = 47000 - 2000 = 45000$$
- Para el monovolumen ($z$):
$$z = \frac{5(47000) - 13000}{6} = \frac{235000 - 13000}{6} = \frac{222000}{6} = 37000$$
💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo los valores en la primera ecuación: $10(47000) + 6(45000) + 3(37000) = 470000 + 270000 + 111000 = 851000$.
Paso 7
Solución final
Los precios de los modelos son:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\begin{aligned} &\text{Deportivo: } 47000 \text{ €} \\ &\text{Familiar: } 45000 \text{ €} \\ &\text{Monovolumen: } 37000 \text{ €} \end{aligned}}$$