Ecuación matricial y operaciones elementales con matrices

**a) Resuelve la ecuación matricial $X + X \cdot \frac{1}{2}A = A \cdot B$. (1.5 puntos)** Para resolver la ecuación, lo primero que debemos hacer es despejar la matriz $X$. Observamos que $X$ aparece en dos sumandos, por lo que podemos extraerla como factor común. Es fundamental recordar que, en matrices, al sacar factor común por la izquierda, el término $X$ se convierte en $X \cdot I$, donde $I$ es la matriz identidad: $$X \left( I + \frac{1}{2}A \right) = A \cdot B$$ Llamemos $M = I + \frac{1}{2}A$. La ecuación queda como $X \cdot M = AB$. Si $M$ tiene inversa, podemos despejar $X$ multiplicando por $M^{-1}$ por la **derecha**: $$X = (A \cdot B) \cdot M^{-1}$$ 💡 **Tip:** El orden en el producto de matrices es crucial. Como $M$ multiplica a $X$ por la derecha, su inversa $M^{-1}$ debe aparecer a la derecha del otro miembro.

Calculamos $M = I + \frac{1}{2}A$. Usamos la matriz identidad de orden 2, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $M^{-1}$, primero calculamos su determinante $|M|$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz adjunta y su traspuesta: $$Adj(M) = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(M))^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa es: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} (Adj(M))^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, se puede hallar rápido intercambiando $a$ con $d$, cambiando el signo a $b$ y $c$, y dividiendo todo por el determinante.

Calculamos el producto de las matrices $A$ y $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + (-2)\cdot 5 & 0\cdot(-1) + (-2)\cdot 4 \\ 2\cdot 0 + (-6)\cdot 5 & 2\cdot(-1) + (-6)\cdot 4 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ -30 & -2 - 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ -30 & -26 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ -30 & -26 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = (A \cdot B) \cdot M^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ -30 & -26 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-10)\cdot 2 + (-8)\cdot 1 & (-10)\cdot (-1) + (-8)\cdot (-1) \\ (-30)\cdot 2 + (-26)\cdot 1 & (-30)\cdot (-1) + (-26)\cdot (-1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -20 - 8 & 10 + 8 \\ -60 - 26 & 30 + 26 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -28 & 18 \\ -86 & 56 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcula $-\frac{1}{2}A - 2B^T + C$. (0.5 puntos)** Primero, calculamos cada término de la expresión por separado: 1. $-\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ 2. Hallamos la traspuesta de $B$ ($B^T$ intercambia filas por columnas): $$B^T = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \implies -2B^T = \begin{pmatrix} 0 & -10 \\ 2 & -8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz traspuesta $B^T$ se obtiene convirtiendo la primera fila de $B$ en la primera columna de $B^T$, y así sucesivamente.

Ahora sumamos los resultados obtenidos junto con la matriz $C$: $$-\frac{1}{2}A - 2B^T + C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -10 \\ 2 & -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ $$ = \begin{pmatrix} 0+0+0 & 1-10+9 \\ -1+2+3 & 3-8+5 \end{pmatrix}$$ $$ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}}$$