Probabilidad en examen de oposición

**a) ¿Qué probabilidad tiene el opositor de aprobar el examen? (0.75 puntos)** Primero, analizamos los datos del problema: - Número total de temas en el programa: $N = 40$ - Número de temas que se extraen (sin reposición): $n = 4$ - Número de temas que el opositor ha preparado: $K = 22$ - Número de temas que el opositor **no** ha preparado: $40 - 22 = 18$ Para aprobar el examen, el opositor necesita saberse **al menos uno** de los 4 temas seleccionados. Esto significa que puede saberse 1, 2, 3 o los 4 temas. Es mucho más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario: - Suceso $A$: Aprobar el examen (saberse 1 o más temas). - Suceso $\bar{A}$: Suspender el examen (no saberse ninguno de los 4 temas). 💡 **Tip:** Cuando una probabilidad pide "al menos uno", suele ser más rápido calcular $1 - P(\text{ninguno})$.

Utilizamos combinatoria para calcular la probabilidad del suceso $\bar{A}$ (no saberse ninguno de los 4 temas). **Casos posibles:** Formas de elegir 4 temas de entre 40 (sin importar el orden): $$C_{40,4} = \binom{40}{4} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 91390$$ **Casos favorables a $\bar{A}$:** Formas de elegir 4 temas de los 18 que no se sabe: $$C_{18,4} = \binom{18}{4} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3060$$ Calculamos $P(\bar{A})$: $$P(\bar{A}) = \frac{3060}{91390} = \frac{306}{9139} \approx 0.03348$$ Finalmente, la probabilidad de aprobar es: $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.03348 = 0.96652$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(\text{Aprobar}) \approx 0.9665}$$

**b) ¿Qué probabilidad tiene el opositor de saberse exactamente uno de los cuatro temas elegidos? (0.75 punto)** En este caso, buscamos la probabilidad de que entre los 4 temas extraídos, **exactamente 1** sea de los 22 preparados y **exactamente 3** sean de los 18 no preparados. Calculamos los casos favorables utilizando el principio de multiplicación: 1. Elegir 1 tema de los 22 preparados: $\binom{22}{1}$ 2. Elegir 3 temas de los 18 no preparados: $\binom{18}{3}$ 💡 **Tip:** En problemas de extracción sin reemplazo donde se busca un número exacto de éxitos, aplicamos el modelo de la distribución hipergeométrica.

Calculamos las combinaciones necesarias: $$\binom{22}{1} = 22$$ $$\binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 17 \cdot 16 = 816$$ **Casos favorables:** $$\text{Fav} = \binom{22}{1} \cdot \binom{18}{3} = 22 \cdot 816 = 17952$$ **Casos posibles:** $$\text{Pos} = \binom{40}{4} = 91390$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X=1) = \frac{17952}{91390} \approx 0.19643$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(\text{saberse exactamente 1}) \approx 0.1964}$$