Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la media
6. Una marca de neumáticos ha tomado una muestra aleatoria de 100 ruedas y ha medido la presión de inflado, proporcionando una media de 2.3 bares. Si se sabe que la presión de inflado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 0.81 \text{ bares}^2$:
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la presión de inflado con un nivel de confianza del $95 \%$. (1 punto)
b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza disminuimos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)
c) La marca de neumáticos afirma que la media de presión de inflado es de 2 bares. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del $90 \ %$? Justificar la respuesta. (0.5 puntos)
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline \textbf{z} & \textbf{0.00} & \textbf{0.01} & \textbf{0.02} & \textbf{0.03} & \textbf{0.04} & \textbf{0.05} & \textbf{0.06} & \textbf{0.07} & \textbf{0.08} & \textbf{0.09} \\
\hline \textbf{1.8} & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\
\textbf{1.9} & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificación de los datos del problema
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la presión de inflado con un nivel de confianza del $95 \%$. (1 punto)**
Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la distribución normal de la media poblacional $\mu$:
- Tamaño de la muestra: $n = 100$
- Media muestral: $\bar{x} = 2.3 \text{ bares}$
- Varianza poblacional: $\sigma^2 = 0.81 \text{ bares}^2 \implies \sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 \text{ bares}$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$
💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica $\sigma$ es la raíz cuadrada de la varianza $\sigma^2$. Es fundamental usar $\sigma$ en las fórmulas, no $\sigma^2$.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$
Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. Hallamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$
2. Hallamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0.025$
3. Buscamos la probabilidad acumulada: $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.9750$
Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ proporcionada:
En la fila **1.9** y columna **0.06**, encontramos exactamente el valor $0.9750$.
Por tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$
💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el valor estándar para el $95\%$ de confianza y es muy común en este tipo de ejercicios.
Paso 3
Cálculo del error y del intervalo de confianza
La fórmula del error máximo admisible es $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores:
$$E = 1.96 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{0.9}{10} = 1.96 \cdot 0.09 = 0.1764$$
El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (2.3 - 0.1764, 2.3 + 0.1764) = (2.1236, 2.4764)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza al 95%):**
$$\boxed{I.C. = (2.1236, 2.4764) \text{ bares}}$$
Paso 4
Efecto de la reducción del tamaño de muestra
**b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza disminuimos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)**
La amplitud del intervalo de confianza ($A$) es el doble del error:
$$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si el nivel de confianza se mantiene igual, $z_{\alpha/2}$ es constante. La desviación típica $\sigma$ también es constante. Si **disminuimos el tamaño de la muestra ($n$)**:
1. El denominador $\sqrt{n}$ se hace más pequeño.
2. Al dividir por un número más pequeño, el valor de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ aumenta.
3. Por tanto, el error $E$ y la amplitud $A$ aumentan.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{La amplitud del intervalo aumentará, perdiendo precisión el estudio.}}$$
Paso 5
Contraste de la afirmación del fabricante al $90\%$
**c) La marca de neumáticos afirma que la media de presión de inflado es de 2 bares. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del $90 \ %$? Justificar la respuesta. (0.5 puntos)**
Para comprobar si la afirmación $\mu = 2$ es aceptable, debemos ver si ese valor cae dentro del intervalo de confianza al $90\%$.
1. Calculamos el nuevo $z_{\alpha/2}$ para $1 - \alpha = 0.90$:
- $\alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$
- Probabilidad acumulada: $1 - 0.05 = 0.9500$
- Aunque este valor no aparece en la tabla corta facilitada, sabemos que para $0.9500$, el valor crítico estándar es **$z_{\alpha/2} = 1.645$**.
2. Calculamos el nuevo error:
$$E_{90} = 1.645 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{100}} = 1.645 \cdot 0.09 = 0.14805$$
3. Calculamos el nuevo intervalo:
$$I.C._{90} = (2.3 - 0.14805, 2.3 + 0.14805) = (2.15195, 2.44805)$$
💡 **Tip:** Si el valor propuesto está dentro del intervalo, se acepta la hipótesis; si está fuera, se rechaza.
Paso 6
Conclusión sobre la afirmación
Comparamos el valor afirmado por el fabricante ($\mu = 2$) con nuestro intervalo calculado $(2.152, 2.448)$:
Observamos que el valor **$2$ no pertenece al intervalo**, ya que es menor que el límite inferior:
$$2 \notin (2.15195, 2.44805)$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación del fabricante, ya que } 2 \text{ está fuera del intervalo de confianza.}}$$