Continuidad con parámetros y representación gráfica de función a trozos

**a) ¿Existe un valor de $t$ para el que la función $f(x)$ es continua en $x = -1$ y en $x = 2$? (0.75 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(a)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$: $\lim_{x \to a} f(x)$. Esto implica que los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$ 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. 💡 **Tip:** En funciones a trozos, los puntos críticos son aquellos donde cambia la definición de la rama. Aquí debemos estudiar $x = -1$ y $x = 2$.

Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = -1$: - **Límite por la izquierda ($x \lt -1$):** usamos la primera rama. $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} ((x+2)^2 + t) = (-1+2)^2 + t = 1^2 + t = 1 + t$$ - **Valor de la función y límite por la derecha ($x \ge -1$):** usamos la segunda rama. $$f(-1) = 3$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$$ Para que sea continua en $x = -1$, igualamos ambos resultados: $$1 + t = 3 \implies t = 3 - 1 \implies \mathbf{t = 2}$$

Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 2$: - **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \le 2$):** usamos la segunda rama. $$f(2) = 3$$ $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$$ - **Límite por la derecha ($x \gt 2$):** usamos la tercera rama. $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 6x + 9 + t) = 2^2 - 6(2) + 9 + t = 4 - 12 + 9 + t = 1 + t$$ Para que sea continua en $x = 2$, igualamos ambos resultados: $$3 = 1 + t \implies t = 3 - 1 \implies \mathbf{t = 2}$$

Como en ambos puntos de salto el valor obtenido para el parámetro $t$ es el mismo, concluimos que: Existe un valor de $t = 2$ para el cual la función es continua simultáneamente en $x = -1$ y en $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2}$$

**b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $t = 0$. (0.75 puntos)** Si sustituimos $t = 0$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x < -1 \\ 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ x^2 - 6x + 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Analizamos cada tramo: 1. **Tramo 1 ($x \lt -1$):** Es una parábola $y = (x+2)^2$. Su vértice está en $(-2, 0)$. En el extremo $x = -1$, el valor sería $(-1+2)^2 = 1$ (punto abierto). 2. **Tramo 2 ($-1 \le x \le 2$):** Es una función constante $y = 3$. Es un segmento horizontal que une los puntos $(-1, 3)$ y $(2, 3)$ (puntos cerrados). 3. **Tramo 3 ($x \gt 2$):** Es una parábola $y = x^2 - 6x + 9$, que podemos escribir como $y = (x-3)^2$. Su vértice está en $(3, 0)$. En el extremo $x = 2$, el valor sería $(2-3)^2 = 1$ (punto abierto). 💡 **Tip:** Al representar, fíjate en que para $t=0$ la función presenta discontinuidades de salto finito en $x=-1$ y $x=2$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función con los tres tramos definidos anteriormente: