Análisis de la función de tiempo de publicidad

**a) ¿Cuántos minutos de publicidad emite el tercer día? (0.5 puntos)** Para saber la publicidad emitida el tercer día, simplemente debemos sustituir el valor de $x = 3$ en la función proporcionada $S(x)$: $$S(3) = 3^3 - \frac{21}{2}(3^2) + 30(3) + 36$$ Realizamos las operaciones paso a paso: 1. Potencias: $3^3 = 27$ y $3^2 = 9$. 2. Sustituimos: $S(3) = 27 - \frac{21}{2}(9) + 90 + 36$. 3. Multiplicaciones: $S(3) = 27 - 94.5 + 90 + 36$. 4. Suma final: $S(3) = 58.5$. 💡 **Tip:** Recuerda que sustituir un punto en la función te da el valor exacto de la variable dependiente (minutos) para ese valor de la variable independiente (días). ✅ **Resultado:** $$\boxed{58.5 \text{ minutos}}$$

**b) ¿Durante qué día se emite más publicidad y cuánto tiempo? (0.75 puntos)** Para encontrar los máximos y mínimos (el día con más y menos publicidad), debemos calcular la primera derivada de la función $S(x)$ e igualarla a cero. La función es: $S(x) = x^3 - 10.5x^2 + 30x + 36$. Derivamos término a término: $$S'(x) = 3x^2 - 21x + 30$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 21x + 30 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por 3: $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{4}{2} = 2$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son candidatos a ser máximos o mínimos relativos. Como el dominio está acotado en $[1, 7]$, también debemos comprobar los extremos del intervalo.

Analizamos el signo de la primera derivada $S'(x) = 3(x-2)(x-5)$ en el intervalo dado $[1, 7]$ para ver dónde crece y decrece la función. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (1, 2) & 2 & (2, 5) & 5 & (5, 7)\\ \hline S'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline S(x) & \nearrow & \text{Máx. rel.} & \searrow & \text{Mín. rel.} & \nearrow \end{array} $$ - En $x=2$ hay un **máximo relativo**. - En $x=5$ hay un **mínimo relativo**.

Para responder a los apartados b) y c), evaluamos la función $S(x)$ en los puntos críticos y en los extremos del dominio $x=1$ y $x=7$: 1. **Extremo inferior ($x=1$):** $S(1) = 1^3 - 10.5(1^2) + 30(1) + 36 = 1 - 10.5 + 30 + 36 = 56.5$. 2. **Máximo relativo ($x=2$):** $S(2) = 2^3 - 10.5(2^2) + 30(2) + 36 = 8 - 42 + 60 + 36 = 62$. 3. **Mínimo relativo ($x=5$):** $S(5) = 5^3 - 10.5(5^2) + 30(5) + 36 = 125 - 262.5 + 150 + 36 = 48.5$. 4. **Extremo superior ($x=7$):** $S(7) = 7^3 - 10.5(7^2) + 30(7) + 36 = 343 - 514.5 + 210 + 36 = 74.5$. 💡 **Tip:** En problemas con intervalos cerrados, el valor máximo o mínimo absoluto puede estar tanto en los puntos donde la derivada es cero como en los bordes del intervalo.

**b) ¿Durante qué día se emite más publicidad y cuánto tiempo?** Comparando los valores obtenidos: $S(1)=56.5$, $S(2)=62$, $S(5)=48.5$, $S(7)=74.5$. El valor máximo es $74.5$ y ocurre el séptimo día. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{El día 7 se emite el máximo: } 74.5 \text{ minutos}}$$ **c) ¿Qué día emitieron menos publicidad? ¿Cuántos minutos? (0.75 puntos)** Comparando los mismos valores, el valor mínimo es $48.5$ y ocurre el quinto día. ✅ **Resultado c):** $$\boxed{\text{El día 5 se emite el mínimo: } 48.5 \text{ minutos}}$$