Programación lineal: Producción de zapatillas

**a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de pares de zapatillas de modelo **hombre**. - $y$: número de pares de zapatillas de modelo **mujer**. La **función objetivo** representa el beneficio total que queremos maximizar. Según el enunciado, el beneficio es de $30€$ por par de hombre y $28€$ por par de mujer: $$\boxed{B(x, y) = 30x + 28y}$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables y lo que te piden maximizar o minimizar (en este caso, el beneficio total).

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones lineales: 1. **Zapatillas de hombre:** Debe fabricar entre 100 y 600 pares. $$100 \le x \le 600$$ 2. **Zapatillas de mujer:** Un mínimo de 400 pares. $$y \ge 400$$ 3. **Capacidad máxima de fabricación:** Máximo de 1200 pares en total. $$x + y \le 1200$$ 4. **Condiciones de no negatividad:** Aunque ya están implícitas en las anteriores, las variables deben ser naturales (o al menos no negativas). $$x, y \ge 0$$ Por tanto, el sistema de restricciones es: $$\boxed{\begin{cases} 100 \le x \le 600 \\ y \ge 400 \\ x + y \le 1200 \end{cases}}$$

Para representar el recinto, calculamos los puntos de corte (vértices) de las rectas que limitan la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x = 100$ e $y = 400$. $$A(100, 400)$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 600$ e $y = 400$. $$B(600, 400)$$ - **Vértice C:** Intersección de $x = 600$ y $x + y = 1200$. Si $x = 600 \implies 600 + y = 1200 \implies y = 600$. $$C(600, 600)$$ - **Vértice D:** Intersección de $x = 100$ y $x + y = 1200$. Si $x = 100 \implies 100 + y = 1200 \implies y = 1100$. $$D(100, 1100)$$ 💡 **Tip:** Los vértices se encuentran resolviendo los sistemas de dos en dos de las rectas de las restricciones que se cortan.

Dibujamos las rectas y sombreamos la región que cumple todas las inecuaciones. El recinto es el cuadrilátero formado por los puntos $A, B, C$ y $D$.

**b) Determina cuántos pares de zapatillas de cada modelo debe fabricar para que el beneficio sea máximo. (0.25 puntos)** Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 30x + 28y$ en cada uno de los vértices del recinto factible: - **Punto A (100, 400):** $B(100, 400) = 30(100) + 28(400) = 3.000 + 11.200 = 14.200€$ - **Punto B (600, 400):** $B(600, 400) = 30(600) + 28(400) = 18.000 + 11.200 = 29.200€$ - **Punto C (600, 600):** $B(600, 600) = 30(600) + 28(600) = 18.000 + 16.800 = 34.800€$ - **Punto D (100, 1100):** $B(100, 1100) = 30(100) + 28(1100) = 3.000 + 30.800 = 33.800€$ Comparando los valores, observamos que el beneficio máximo se obtiene en el punto **C(600, 600)**. ✅ **Resultado:** Para maximizar el beneficio, debe fabricar **600 pares de hombre** y **600 pares de mujer**, obteniendo un beneficio total de **34.800 euros**. $$\boxed{\text{Máximo: } 600 \text{ pares hombre, } 600 \text{ pares mujer}}$$