Sistema de ecuaciones: Precio de bombones

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada tipo de bombón. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema (el precio de cada tipo de bombón en euros): - $x$: Precio de un bombón de chocolate negro (€). - $y$: Precio de un bombón de chocolate con leche (€). - $z$: Precio de un bombón de chocolate blanco (€). Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. La caja cuesta 51 € y contiene 12 negros, 6 con leche y 6 blancos: $$12x + 6y + 6z = 51$$ 2. El chocolate negro ($x$) cuesta 1 € más que el de leche ($y$): $$x = y + 1 \implies x - y = 1$$ 3. El chocolate con leche ($y$) cuesta 50 céntimos (0.50 €) menos que el blanco ($z$): $$y = z - 0.50 \implies y - z = -0.50$$ 💡 **Tip:** Es fundamental trabajar siempre en las mismas unidades. Como el precio total está en euros, convertimos los 50 céntimos a $0.50$ euros. El sistema de ecuaciones resultante es: $$\boxed{\begin{cases} 12x + 6y + 6z = 51 \\ x - y = 1 \\ y - z = -0.50 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, ya que las relaciones entre los bombones son sencillas. De la segunda y tercera ecuación, podemos expresar $x$ y $z$ en función de $y$: - De $x - y = 1 \implies x = y + 1$ - De $y - z = -0.50 \implies z = y + 0.50$ Ahora sustituimos estas expresiones en la primera ecuación: $$12(y + 1) + 6y + 6(y + 0.50) = 51$$ Desarrollamos los paréntesis: $$12y + 12 + 6y + 6y + 3 = 51$$ Agrupamos los términos con $y$ y los números: $$(12 + 6 + 6)y + (12 + 3) = 51$$ $$24y + 15 = 51$$ Despejamos $y$: $$24y = 51 - 15$$ $$24y = 36$$ $$y = \frac{36}{24} = 1.5$$ Por tanto, el bombón de chocolate con leche cuesta **1.50 €**. 💡 **Tip:** Al resolver sistemas de problemas reales, si los resultados son números decimales exactos y coherentes (como precios de mercado), es una buena señal de que el planteamiento es correcto.

Una vez hallado el valor de $y = 1.5$, calculamos el resto de variables usando las relaciones anteriores: - Para el chocolate negro ($x$): $$x = y + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$$ - Para el chocolate blanco ($z$): $$z = y + 0.5 = 1.5 + 0.5 = 2.0$$ Comprobamos en la primera ecuación para asegurar el resultado: $$12(2.5) + 6(1.5) + 6(2) = 30 + 9 + 12 = 51 \text{ (Correcto)}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Bombón chocolate negro: } 2.50 \text{ €} \\ &\text{Bombón chocolate con leche: } 1.50 \text{ €} \\ &\text{Bombón chocolate blanco: } 2.00 \text{ €} \end{aligned}}$$