Cálculo de parámetros de una función polinómica

El enunciado indica que la función corta al eje OY en el punto de ordenada $y=1$. Esto significa que la gráfica pasa por el punto $(0, 1)$. Por tanto, se debe cumplir que $f(0) = 1$: $$f(0) = a(0)^4 + b(0)^2 + c = 1$$ $$0 + 0 + c = 1 \implies c = 1$$ 💡 **Tip:** El punto de corte con el eje vertical (OY) siempre tiene la coordenada $x=0$. En funciones polinómicas, este valor suele coincidir con el término independiente. $$\boxed{c = 1}$$

Sabemos que la función tiene un mínimo en el punto $(-1, 0)$. Esto implica, en primer lugar, que el punto pertenece a la gráfica de la función, es decir, $f(-1) = 0$. Sustituimos $x = -1$, $y = 0$ y el valor ya conocido $c = 1$ en la expresión de $f(x)$: $$f(-1) = a(-1)^4 + b(-1)^2 + 1 = 0$$ $$a(1) + b(1) + 1 = 0$$ $$a + b + 1 = 0 \implies a + b = -1$$ Ya tenemos nuestra primera ecuación con las incógnitas $a$ y $b$.

Para que en $x = -1$ haya un extremo relativo (en este caso, un mínimo), la derivada de la función en ese punto debe ser igual a cero ($f'(-1) = 0$). Primero, calculamos la derivada genérica de $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$: $$f'(x) = 4ax^3 + 2bx$$ Ahora, imponemos la condición $f'(-1) = 0$: $$f'(-1) = 4a(-1)^3 + 2b(-1) = 0$$ $$-4a - 2b = 0$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre $-2$: $$2a + b = 0 \implies b = -2a$$ 💡 **Tip:** Si un punto es un máximo o un mínimo relativo y la función es derivable, entonces la pendiente de la recta tangente en ese punto es cero.

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas en los pasos anteriores: 1) $a + b = -1$ 2) $b = -2a$ Sustituimos la segunda expresión en la primera: $$a + (-2a) = -1$$ $$-a = -1 \implies a = 1$$ Calculamos ahora el valor de $b$: $$b = -2(1) = -2$$ ✅ **Valores hallados:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -2, \quad c = 1}$$

Para que la solución sea completa y "razonada", debemos comprobar que en $(-1, 0)$ realmente hay un **mínimo** y no un máximo o un punto de inflexión. Usaremos la segunda derivada: Calculamos $f''(x)$ con los valores obtenidos ($f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$): $$f'(x) = 4x^3 - 4x$$ $$f''(x) = 12x^2 - 4$$ Evaluamos en $x = -1$: $$f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$$ Como $f''(-1) > 0$, el criterio de la segunda derivada confirma que existe un **mínimo relativo** en ese punto. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(a)=0$, entonces: si $f''(a)>0$ es un mínimo y si $f''(a)<0$ es un máximo.