Alojamiento turístico y calidad hotelera

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales para organizar la información: - $C$: El turista se aloja en el **centro**. - $A$: El turista se aloja en las **afueras**. - $H$: El turista se aloja en un hotel de **3 o más estrellas**. - $L$: El turista se aloja en un establecimiento de **menor calidad** (suceso contrario a $H$, denotado también como $\bar{H}$). Datos del enunciado: - $P(C) = 0.70$ (el $70\%$). - $P(A) = 1 - P(C) = 0.30$ (el resto). - $P(H|C) = 0.60$ (hoteles de $\ge 3$ estrellas en el centro). - $P(L|C) = 1 - 0.60 = 0.40$ (menor calidad en el centro). - $P(H|A) = 0.40$ (hoteles de $\ge 3$ estrellas en las afueras). - $P(L|A) = 1 - 0.40 = 0.60$ (menor calidad en las afueras). Representamos esta información en un **diagrama de árbol**:

**a) Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas? (0.75 puntos)** Para calcular la probabilidad de que una persona se aloje en un hotel de 3 o más estrellas, $P(H)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de llegar al suceso $H$ a través de las dos rutas posibles: por el centro o por las afueras. $$P(H) = P(C) \cdot P(H|C) + P(A) \cdot P(H|A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(H) = (0.70 \cdot 0.60) + (0.30 \cdot 0.40)$$ $$P(H) = 0.42 + 0.12 = 0.54$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.54}$$ La probabilidad de que se aloje en un hotel de 3 o más estrellas es del **$54\%$**.

**b) Si se sabe que una persona se ha alojado en un establecimiento de menor calidad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona se haya alojado en el centro? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar $P(C|L)$, sabiendo que $L$ es el suceso de menor calidad. Primero, calculamos la probabilidad total de alojarse en un establecimiento de menor calidad, $P(L)$. Como es el suceso contrario a $H$: $$P(L) = 1 - P(H) = 1 - 0.54 = 0.46$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(C|L) = \frac{P(C \cap L)}{P(L)} = \frac{P(C) \cdot P(L|C)}{P(L)}$$ Sustituimos los valores: $$P(C|L) = \frac{0.70 \cdot 0.40}{0.46} = \frac{0.28}{0.46}$$ Simplificamos la fracción: $$P(C|L) = \frac{28}{46} = \frac{14}{23} \approx 0.6087$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El denominador siempre es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|L) = \frac{14}{23} \approx 0.6087}$$ La probabilidad de que se haya alojado en el centro, dado que el hotel es de menor calidad, es de aproximadamente un **$60.87\%$**.