Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media
4. El número de pacientes que se atienden en un centro de salud a la semana sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 50$ pacientes. Se ha tomado una muestra aleatoria de 25 semanas y se ha registrado el número de pacientes atendidos, proporcionando una media de 322 pacientes.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del $95 \ %$. (1 punto)
b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)
c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del $99 \ %$? Justificar la respuesta. (0.5 puntos)
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline \textbf{z} & \textbf{0.00} & \textbf{0.01} & \textbf{0.02} & \textbf{0.03} & \textbf{0.04} & \textbf{0.05} & \textbf{0.06} & \textbf{0.07} & \textbf{0.08} & \textbf{0.09} \\
\hline \textbf{1.8} & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\
\textbf{1.9} & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificación de datos y valor crítico
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del $95 \ %$. (1 punto)**
Primero, identificamos los datos del enunciado para la variable $X$, que representa el número de pacientes atendidos semanalmente:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 50$.
- Tamaño de la muestra: $n = 25$.
- Media muestral: $\bar{x} = 322$.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$.
Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$.
2. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$.
3. Consultando la tabla proporcionada, para una probabilidad de $0.9750$, observamos la fila $1.9$ y la columna $0.06$.
Por lo tanto:
$$z_{\alpha/2} = 1.96$$
💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ define los límites en una Normal estándar $N(0,1)$ que encierran el área de probabilidad deseada.
Paso 2
Cálculo del error y del intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores:
$$E = 1.96 \cdot \frac{50}{\sqrt{25}} = 1.96 \cdot \frac{50}{5} = 1.96 \cdot 10 = 19.6$$
El intervalo de confianza se define como $I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I = (322 - 19.6, \; 322 + 19.6)$$
$$I = (302.4, \; 341.6)$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I = (302.4, \; 341.6)}$$
Paso 3
Análisis de la amplitud del intervalo
**b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra. (0.5 puntos)**
La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la diferencia entre su límite superior e inferior, lo que equivale a dos veces el error:
$$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si el nivel de confianza se mantiene igual, el valor $z_{\alpha/2}$ no cambia. Si aumentamos el tamaño de la muestra ($n$):
1. El denominador $\sqrt{n}$ aumenta.
2. Al dividir por un número mayor, el valor de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye.
3. En consecuencia, el error $E$ y la amplitud $A$ **disminuyen**.
💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, más información tenemos sobre la población y, por tanto, el intervalo de confianza es más estrecho y la estimación es más precisa.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{La amplitud del intervalo disminuirá (el intervalo será más estrecho).}}$$
Paso 4
Contraste de hipótesis mediante intervalo de confianza
**c) ¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del $99 \ %$? Justificar la respuesta. (0.5 puntos)**
Para responder, calculamos el nuevo intervalo de confianza al $99 \ %$ ($1 - \alpha = 0.99$).
1. Determinamos el nuevo $z_{\alpha/2}$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$
Consultando los valores estándar (ya que no aparece exactamente en el extracto de la tabla): $z_{\alpha/2} \approx 2.575$.
2. Calculamos el nuevo error:
$$E = 2.575 \cdot \frac{50}{\sqrt{25}} = 2.575 \cdot 10 = 25.75$$
3. Construimos el intervalo:
$$I_{99\%} = (322 - 25.75, \; 322 + 25.75) = (296.25, \; 347.75)$$
4. Comprobamos si el valor propuesto $\mu = 330$ pertenece al intervalo:
$$330 \in (296.25, \; 347.75)$$
Como el valor $330$ se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado, la afirmación es compatible con los datos muestrales.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, se puede aceptar la afirmación porque 330 está dentro del intervalo al 99\%.}}$$