Sistema de ecuaciones: Reparto de tiempo en televisión

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto tiempo se dedica a cada una de las tres secciones del programa. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representarán el tiempo en minutos de cada sección: - $x$: tiempo dedicado a la **magia**. - $y$: tiempo dedicado a la **humor**. - $z$: tiempo dedicado a las **noticias**. Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. El humor dura cinco minutos más que la magia: $y = x + 5$ 2. La suma de magia y humor es la cuarta parte de noticias: $x + y = \frac{z}{4}$ 3. El programa dura 1 hora y 55 minutos. Pasamos todo a minutos: $1 \cdot 60 + 55 = 115$ min. Por tanto: $x + y + z = 115$ 💡 **Tip:** Es fundamental trabajar siempre en las mismas unidades. En este caso, lo más sencillo es convertir las horas a minutos antes de plantear las ecuaciones. Organizamos las ecuaciones para obtener el sistema: $$\begin{cases} -x + y = 5 \\ 4x + 4y - z = 0 \\ x + y + z = 115 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema):** $$\boxed{\begin{cases} y = x + 5 \\ x + y = \dfrac{z}{4} \\ x + y + z = 115 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Podemos resolver el sistema de forma eficiente utilizando el método de sustitución. Observamos que de la segunda ecuación sabemos que $x + y = \frac{z}{4}$. Podemos sustituir esta expresión directamente en la tercera ecuación: $$(x + y) + z = 115 \implies \frac{z}{4} + z = 115$$ Multiplicamos toda la ecuación por $4$ para eliminar el denominador: $$z + 4z = 460 \implies 5z = 460$$ $$z = \frac{460}{5} = 92$$ 💡 **Tip:** Identificar bloques de variables (como $x+y$) que se repiten en varias ecuaciones suele simplificar mucho la resolución de sistemas de 3 variables. $$\boxed{z = 92 \text{ minutos}}$$

Ahora que conocemos $z$, retomamos las dos primeras condiciones: 1. $x + y = \frac{92}{4} = 23$ 2. $y = x + 5$ Sustituimos el valor de $y$ de la segunda expresión en la primera: $$x + (x + 5) = 23$$ $$2x + 5 = 23 \implies 2x = 18$$ $$x = \frac{18}{2} = 9$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 9 + 5 = 14$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene realizar una comprobación rápida sumando los resultados: $9 + 14 + 92 = 115$ minutos, lo cual coincide con la duración total del programa.

Una vez hallados los valores de las incógnitas, expresamos el resultado con sus unidades correspondientes: - Tiempo de magia ($x$): **9 minutos** - Tiempo de humor ($y$): **14 minutos** - Tiempo de noticias ($z$): **92 minutos** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Magia: 9 min, Humor: 14 min, Noticias: 92 min}}$$