Ecuaciones matriciales y dimensiones de matrices

**a) Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones $A \cdot X = B$ y $B = X \cdot A$? ¿De qué propiedad estamos hablando? (0.5 puntos)** Para despejar $X$ en ambas ecuaciones, suponiendo que $A$ es invertible, realizamos las siguientes operaciones: 1. En la ecuación $A \cdot X = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ 2. En la ecuación $B = X \cdot A$, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$: $$B \cdot A^{-1} = (X \cdot A) \cdot A^{-1} \implies B \cdot A^{-1} = X \cdot I \implies X = B \cdot A^{-1}$$ Como el producto de matrices **no es conmutativo**, en general $A^{-1} \cdot B \neq B \cdot A^{-1}$. Por tanto, no se obtendría el mismo resultado. La propiedad de la que hablamos es la **propiedad conmutativa** del producto de matrices, la cual no se cumple de forma general. 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices, el orden de los factores sí altera el producto. Si multiplicas por la inversa en un lado de la igualdad, debes hacerlo por el mismo lado (izquierda o derecha) en el otro lado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se obtiene el mismo resultado por la falta de conmutatividad del producto de matrices: } A \cdot B \neq B \cdot A}$$

**b) Si la dimensión de la matriz $M$ es $3 \times m$, la dimensión de la matriz $N$ es $2 \times 5$ y $P$ es una matriz cuadrada de orden $p$. ¿Qué valores han de tomar $m$ y $p$ para que se pueda realizar el producto $M \cdot N \cdot P$? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante? (0.5 puntos).** Para que el producto de dos matrices $A \cdot B$ sea posible, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$. Analizamos el producto $M \cdot N \cdot P$: 1. **Producto $M \cdot N$:** - Dimensión de $M$: $3 \times m$ - Dimensión de $N$: $2 \times 5$ - Condición: $m = 2$. - La matriz resultante $(M \cdot N)$ tendrá dimensión **$3 \times 5$**. 2. **Producto $(M \cdot N) \cdot P$:** - Dimensión de $(M \cdot N)$: $3 \times 5$ - Dimensión de $P$: $p \times p$ (al ser cuadrada de orden $p$) - Condición: El número de columnas de $(M \cdot N)$, que es $5$, debe ser igual al número de filas de $P$, que es $p$. Por tanto, **$p = 5$**. 3. **Dimensión resultante:** La dimensión final será el número de filas de la primera matriz ($M$) y el número de columnas de la última ($P$): **$3 \times 5$**. 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices $(a \times b) \cdot (b \times c)$, los números internos deben coincidir, y el resultado tiene los números externos $(a \times c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2, \quad p = 5, \quad \text{Dimensión resultante: } 3 \times 5}$$

**c) Para las matrices $C = \begin{pmatrix} -4 & 11 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ y $E = \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -9 & 3 \end{pmatrix}$ resuelve la ecuación $X \cdot C - D^2 = \frac{1}{3}E^T$ (1 punto)** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$X \cdot C = \frac{1}{3}E^T + D^2$$ Para dejar sola a la $X$, multiplicamos por la derecha por la inversa de $C$ ($C^{-1}$): $$X \cdot C \cdot C^{-1} = \left( \frac{1}{3}E^T + D^2 \right) \cdot C^{-1}$$ $$X = \left( \frac{1}{3}E^T + D^2 \right) \cdot C^{-1}$$ Llamaremos $S = \frac{1}{3}E^T + D^2$ a la matriz suma que debemos calcular antes del producto final. 💡 **Tip:** Siempre que despejes una matriz, fíjate si multiplicas por la izquierda o por la derecha. Aquí $C$ está a la derecha de $X$, luego $C^{-1}$ debe ir a la derecha en el otro miembro.

Calculamos por separado los elementos de la suma $S$: 1. Calculamos $D^2$: $$D^2 = D \cdot D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) & 5 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \\ -1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) & -1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 0 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos $\frac{1}{3}E^T$: Primero la traspuesta de $E$ (cambiamos filas por columnas): $$E^T = \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $\frac{1}{3}$: $$\frac{1}{3}E^T = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Sumamos ambos resultados para obtener $S$: $$S = \frac{1}{3}E^T + D^2 = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25 & 0 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & -3 \\ -8 & 5 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{S = \begin{pmatrix} 28 & -3 \\ -8 & 5 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $C^{-1}$, usamos la fórmula $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$. 1. Calculamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} -4 & 11 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-4)(-3) - (11)(1) = 12 - 11 = 1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -11 & -4 \end{pmatrix}$$ 3. Hallamos la traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(C)^T$: $$\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} -3 & -11 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$$ 4. Dividimos por el determinante: $$C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & -11 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -11 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede calcular rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria, dividiendo todo por el determinante.

Finalmente, calculamos $X = S \cdot C^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 28 & -3 \\ -8 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -11 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $x_{11} = 28 \cdot (-3) + (-3) \cdot (-1) = -84 + 3 = -81$ - $x_{12} = 28 \cdot (-11) + (-3) \cdot (-4) = -308 + 12 = -296$ - $x_{21} = (-8) \cdot (-3) + 5 \cdot (-1) = 24 - 5 = 19$ - $x_{22} = (-8) \cdot (-11) + 5 \cdot (-4) = 88 - 20 = 68$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -81 & -296 \\ 19 & 68 \end{pmatrix}}$$