Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Intervalo de confianza para la media y error máximo
6. El número de libros que lee un estudiante de Bachillerato al año sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 6 \text{ libros}^2$. Se ha tomado una muestra de 10 estudiantes de Bachillerato y el número de libros que han leído han sido 4, 8, 2, 9, 3, 7, 5, 6, 7 y 4 libros.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del $97 \ %$. (1 punto)
b) Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del $95.96 \ %$? (0.5 puntos)
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline \textbf{z} & \textbf{0.00} & \textbf{0.01} & \textbf{0.02} & \textbf{0.03} & \textbf{0.04} & \textbf{0.05} & \textbf{0.06} & \textbf{0.07} & \textbf{0.08} & \textbf{0.09} \\
\hline \textbf{2.0} & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\
\textbf{2.1} & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificación de datos y cálculo de la media muestral
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del $97 \ %$. (1 punto)**
Primero, identificamos los parámetros de la población y los datos de la muestra:
- La variable sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$.
- Varianza poblacional: $\sigma^2 = 6 \implies$ Desviación típica: $\sigma = \sqrt{6} \approx 2.4495$.
- Tamaño de la muestra: $n = 10$.
Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando los valores leídos por los 10 estudiantes:
$$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 2 + 9 + 3 + 7 + 5 + 6 + 7 + 4}{10} = \frac{55}{10} = 5.5$$
💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media se calcula como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.
$$\boxed{\bar{x} = 5.5, \quad \sigma = \sqrt{6}, \quad n = 10}$$
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 97%
Para un nivel de confianza del $97 \ %$:
1. $1 - \alpha = 0.97$
2. $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$
3. $\alpha/2 = 0.015$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850$$
Mirando en la tabla proporcionada:
- En la fila **2.1** y columna **0.07**, encontramos el valor **0.9850**.
- Por lo tanto, el valor crítico es **$z_{\alpha/2} = 2.17$**.
💡 **Tip:** Si el nivel de confianza es alto, el valor de $z_{\alpha/2}$ será mayor, lo que implica un intervalo más ancho.
Paso 3
Cálculo del error y el intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{6}{10}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.6}$$
$$E \approx 2.17 \cdot 0.7746 = 1.6809$$
Ahora formamos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
- Límite inferior: $5.5 - 1.6809 = 3.8191$
- Límite superior: $5.5 + 1.6809 = 7.1809$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{IC = (3.8191, 7.1809)}$$
Paso 4
Análisis de la amplitud del intervalo
**b) Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)**
La amplitud del intervalo de confianza es la distancia entre sus extremos, es decir, el doble del error:
$$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si mantenemos el **mismo nivel de confianza**, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ permanece constante. Como la desviación típica $\sigma$ es un parámetro fijo de la población, la única variable que podemos modificar es el tamaño de la muestra $n$.
Para que la amplitud $A$ aumente, el denominador $\sqrt{n}$ debe disminuir. Por lo tanto, para conseguir un intervalo de mayor amplitud, deberíamos **disminuir el tamaño de la muestra ($n$)**.
💡 **Tip:** Menos datos (muestra pequeña) implican menor precisión y, por tanto, un intervalo más amplio para asegurar la confianza.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Se debería disminuir el tamaño de la muestra (n).}}$$
Paso 5
Cálculo del error para una nueva muestra y confianza
**c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del $95.96 \ %$? (0.5 puntos)**
Nuevos datos:
- $n = 64$
- $\sigma = \sqrt{6}$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9596$
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $\alpha = 1 - 0.9596 = 0.0404$
2. $\alpha/2 = 0.0202$
3. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0202 = 0.9798$
Buscamos **0.9798** en la tabla:
- Se encuentra en la fila **2.0** y columna **0.05**.
- Por tanto, $z_{\alpha/2} = 2.05$.
Calculamos el error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{64}} = 2.05 \cdot \frac{\sqrt{6}}{8}$$
$$E \approx 2.05 \cdot \frac{2.4495}{8} = 2.05 \cdot 0.3062 = 0.6277$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{E = 0.6277 \text{ libros}}$$