Análisis 2022 Castilla la Mancha
Continuidad y estudio de una función a trozos con parámetros
5. Se considera la función $f(x) = \begin{cases} (x + t + 1)^2 & \text{si } x \lt -1 \\ 1 & \text{si } x = -1 \\ -x^2 + (t + 2)x + 5 & \text{si } x \gt -1 \end{cases}$
a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x = -1$? (0.5 puntos)
b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1, \infty)$. (0.5 puntos)
c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1, \infty)$. (0.5 puntos)
Paso 1
Condiciones de continuidad en un punto
**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua $x = -1$? (0.5 puntos)**
Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones:
1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(a)$.
2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
En nuestro caso, para $x = -1$:
- Valor de la función: $f(-1) = 1$.
- Límite por la izquierda (usando la primera rama):
$$\lim_{x \to -1^-} (x + t + 1)^2 = (-1 + t + 1)^2 = t^2.$$
- Límite por la derecha (usando la tercera rama):
$$\lim_{x \to -1^+} (-x^2 + (t + 2)x + 5) = -(-1)^2 + (t + 2)(-1) + 5 = -1 - t - 2 + 5 = 2 - t.$$
💡 **Tip:** Recuerda que al calcular límites en funciones polinómicas, simplemente sustituimos el valor de $x$ en la expresión.
Paso 2
Resolver el sistema para hallar t
Para que la función sea continua, los tres valores anteriores deben ser iguales:
$$t^2 = 1 \quad \text{y} \quad 2 - t = 1$$
De la segunda ecuación despejamos $t$:
$$2 - t = 1 \implies t = 2 - 1 \implies t = 1.$$
Ahora comprobamos si este valor cumple la primera ecuación:
$$1^2 = 1. \quad \text{(Se cumple)}$$
Por tanto, para que la función sea continua en $x = -1$, el parámetro debe valer $t = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{t = 1}$$
Paso 3
Definir la función para t = 0
**b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1, \infty)$. (0.5 puntos)**
**c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1, \infty)$. (0.5 puntos)**
Primero, sustituimos $t = 0$ en la rama correspondiente al intervalo $(-1, \infty)$:
$$f(x) = -x^2 + (0 + 2)x + 5 = -x^2 + 2x + 5, \quad \text{para } x \gt -1.$$
Para estudiar el crecimiento y los extremos, calculamos la derivada de la función:
$$f'(x) = (-x^2 + 2x + 5)' = -2x + 2.$$
Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero:
$$-2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1.$$
Como $x = 1$ pertenece al intervalo $(-1, \infty)$, es un posible extremo relativo.
💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde la derivada es cero o no existe. Es el candidato principal para ser un máximo o un mínimo.
Paso 4
Estudio de la monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)
Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 1$ dentro del dominio $(-1, \infty)$:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline
f'(x) = -2x + 2 & + & 0 & - \\
f(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow
\end{array}$$
- En el intervalo $(-1, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = -2(0) + 2 = 2 \gt 0$ (**Creciente**).
- En el intervalo $(1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = -2(2) + 2 = -2 \lt 0$ (**Decreciente**).
✅ **Resultado (Crecimiento/Decrecimiento):**
$$\boxed{\text{Creciente: } (-1, 1) \quad \text{Decreciente: } (1, +\infty)}$$
Paso 5
Cálculo del extremo relativo
A partir del estudio anterior, observamos que en $x = 1$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**.
Calculamos la coordenada $y$ sustituyendo $x = 1$ en $f(x)$:
$$f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6.$$
No existen mínimos relativos en este intervalo ya que la función es una parábola cóncava (hacia abajo).
✅ **Resultado (Extremos):**
$$\boxed{\text{Máximo relativo en } (1, 6)}$$