Estudio del número de socios de una protectora

**a) ¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye? (0.5 puntos)** Para estudiar el crecimiento (monotonía) de una función, debemos calcular su derivada $P'(x)$ e igualarla a cero para encontrar los puntos donde la pendiente es nula. Dada $P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 4$, derivamos término a término: $$P'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ Ahora, resolvemos la ecuación $P'(x) = 0$: $$3x^2 - 12x + 9 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación entre $3$: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Esto nos da dos valores: $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a máximos o mínimos. En este problema, como el dominio es $[1, 5]$, los puntos de interés son $x=1$ y $x=3$.

Para saber si la función aumenta o disminuye, estudiamos el signo de $P'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[1, 5]$. Los intervalos a estudiar son $(1, 3)$ y $(3, 5)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & 1 & (1,3) & 3 & (3,5) & 5 \\ \hline P'(x) & 0 & - & 0 & + & 24 \\ \hline P(x) & 8 & \searrow & 4 & \nearrow & 24 \end{array}$$ - En el intervalo $(1, 3)$: Probamos con $x=2 \implies P'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \lt 0$. La función **disminuye**. - En el intervalo $(3, 5)$: Probamos con $x=4 \implies P'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 \gt 0$. La función **aumenta**. ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\text{Aumenta en } (3, 5) \text{ y disminuye en } (1, 3)}$$

**b) ¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son? (0.75 puntos)** Para encontrar el máximo absoluto en un intervalo cerrado $[1, 5]$, debemos comparar los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos. Calculamos los valores de $P(x)$: - En $x = 1$: $P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 4 = 1 - 6 + 9 + 4 = 8$ socios. - En $x = 3$: $P(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 4 = 27 - 54 + 27 + 4 = 4$ socios. - En $x = 5$: $P(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 9(5) + 4 = 125 - 150 + 45 + 4 = 24$ socios. El valor más alto es $24$, que ocurre cuando $x=5$. 💡 **Tip:** No olvides nunca comprobar los extremos del intervalo dado ($1$ y $5$ en este caso), ya que el máximo absoluto puede estar en un borde y no solo donde la derivada es cero. ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{Hay un máximo de 24 socios en el año 5}}$$

**c) ¿En qué año son menos socios y cuántos hay? (0.75 puntos)** Utilizando los valores calculados en el paso anterior: - $P(1) = 8$ - $P(3) = 4$ - $P(5) = 24$ El valor más bajo es $4$, que se alcanza en el año $x=3$. Como hemos visto en el estudio de la monotonía, en $x=3$ hay un mínimo relativo donde la función pasa de decrecer a crecer, y al comparar con los bordes, resulta ser también el mínimo absoluto en el periodo estudiado. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{Hay un mínimo de 4 socios en el año 3}}$$