Probabilidad en accesos a Internet por servidores

**a) Dibuja el diagrama en árbol para describir esta situación** Primero, definimos los sucesos según el servidor utilizado y si el acceso es bloqueado o no: - $S_1$: Acceso por el servidor 1. - $S_2$: Acceso por el servidor 2. - $S_3$: Acceso por el servidor 3. - $B$: El acceso resulta bloqueado. - $\bar{B}$: El acceso no resulta bloqueado (suceso contrario). Datos del enunciado: - $P(S_1) = 0.40$ - $P(S_2) = 0.35$ - $P(S_3) = 1 - (0.40 + 0.35) = 0.25$ Probabilidades condicionadas de bloqueo: - $P(B|S_1) = 0.04 \implies P(\bar{B}|S_1) = 0.96$ - $P(B|S_2) = 0.06 \implies P(\bar{B}|S_2) = 0.94$ - $P(B|S_3) = 0.09 \implies P(\bar{B}|S_3) = 0.91$ Representamos la situación en un diagrama en árbol:

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que un acceso a internet no resulte bloqueado** Para calcular la probabilidad de que un acceso no sea bloqueado, $P(\bar{B})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Esto consiste en sumar las probabilidades de no bloqueo a través de cada uno de los tres servidores. $$P(\bar{B}) = P(S_1) \cdot P(\bar{B}|S_1) + P(S_2) \cdot P(\bar{B}|S_2) + P(S_3) \cdot P(\bar{B}|S_3)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama: $$P(\bar{B}) = (0.40 \cdot 0.96) + (0.35 \cdot 0.94) + (0.25 \cdot 0.91)$$ $$P(\bar{B}) = 0.384 + 0.329 + 0.2275$$ $$P(\bar{B}) = 0.9405$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan a un suceso final (como no bloqueo) nos da la probabilidad total de ese suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B}) = 0.9405}$$

**c) Si un acceso a Internet resulta bloqueado, ¿cuál es la probabilidad de que el bloqueo haya ocurrido en el servidor 2?** Nos piden una probabilidad condicionada a la inversa: sabemos que ha ocurrido el bloqueo ($B$) y queremos saber la probabilidad de que provenga del servidor 2 ($S_2$). Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**. $$P(S_2|B) = \frac{P(S_2 \cap B)}{P(B)}$$ Primero, calculamos $P(B)$, que es la probabilidad complementaria a la hallada en el apartado anterior: $$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0.9405 = 0.0595$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (servidor 2 y bloqueado): $$P(S_2 \cap B) = P(S_2) \cdot P(B|S_2) = 0.35 \cdot 0.06 = 0.021$$ Finalmente, calculamos el cociente: $$P(S_2|B) = \frac{0.021}{0.0595} \approx 0.3529$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa siempre que nos dan el resultado final (bloqueo) y nos preguntan por la causa (servidor). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S_2|B) = \frac{0.021}{0.0595} \approx 0.3529}$$