Distribuciones de probabilidad: Esperanza, aproximación normal y binomial

**a) ¿Cuál es el número total de vehículos (sumando coches, guaguas y motos) que se puede esperar que tengan un accidente a lo largo del próximo año?** El número esperado de éxitos en una distribución binomial viene dado por la esperanza matemática $E[X] = n \cdot p$, donde $n$ es el número de individuos y $p$ la probabilidad de accidente. Calculamos la esperanza para cada tipo de vehículo: - **Coches:** $E[C] = 2500 \cdot 0,1 = 250$ - **Guaguas:** $E[G] = 560 \cdot 0,08 = 44,8$ - **Motos:** $E[M] = 220 \cdot 0,16 = 35,2$ El número total esperado de accidentes es la suma de los valores esperados individuales: $$E[Total] = 250 + 44,8 + 35,2 = 330$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la esperanza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de sus esperanzas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{330 \text{ vehículos}}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tengan un accidente al menos 270 de los coches asegurados?** Sea $X$ la variable que cuenta el número de coches accidentados. $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(n=2500, p=0,1)$$ Como $n$ es muy grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 2500 \cdot 0,1 = 250 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 2500 \cdot 0,9 = 2250 \gt 5$ Al cumplirse las condiciones, aproximamos $X$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 250$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2500 \cdot 0,1 \cdot 0,9} = \sqrt{225} = 15$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(250, 15)$.

Queremos calcular $P(X \ge 270)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**: $$P(X \ge 270) = P(X' \ge 269,5)$$ Ahora tipificamos la variable $Z = \dfrac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{269,5 - 250}{15}\right) = P\left(Z \ge \frac{19,5}{15}\right) = P(Z \ge 1,3)$$ Como las tablas de la normal suelen dar $P(Z \le k)$, usamos el suceso complementario: $$P(Z \ge 1,3) = 1 - P(Z \lt 1,3)$$ Consultando la tabla $N(0,1)$, $P(Z \lt 1,3) = 0,9032$. $$1 - 0,9032 = 0,0968$$ 💡 **Tip:** No olvides la corrección de Yates $(\pm 0,5)$ siempre que pases de una Binomial a una Normal para que el resultado sea preciso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 270) = 0,0968}$$

**c) La Administración Tributaria decide inspeccionar las cuentas de esta aseguradora. Para realizar la inspección elige al azar las pólizas de 10 de los vehículos asegurados por la compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los vehículos elegidos haya al menos dos guaguas?** Primero calculamos el número total de vehículos: $$N_{total} = 2500 + 560 + 220 = 3280$$ La probabilidad de elegir una guagua al azar (éxito) es: $$p = \frac{560}{3280} = \frac{56}{328} = \frac{7}{41} \approx 0,1707$$ Sea $Y$ el número de guaguas en una muestra de $n=10$. Como la población total es muy grande comparada con la muestra, podemos usar la distribución binomial: $$Y \sim B(10, 0,1707)$$

Nos piden la probabilidad de que haya al menos dos guaguas: $P(Y \ge 2)$. Es más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(Y \ge 2) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1)]$$ Usamos la fórmula de la binomial $P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: 1. Para $k=0$: $$P(Y=0) = \binom{10}{0} (0,1707)^0 (0,8293)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0,1569 = 0,1569$$ 2. Para $k=1$: $$P(Y=1) = \binom{10}{1} (0,1707)^1 (0,8293)^9 = 10 \cdot 0,1707 \cdot 0,1892 = 0,3230$$ Sumamos ambas: $$P(Y \lt 2) = 0,1569 + 0,3230 = 0,4799$$ Finalmente: $$P(Y \ge 2) = 1 - 0,4799 = 0,5201$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos 2", casi siempre es más rápido calcular $1 - (P(0)+P(1))$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 2) = 0,5201}$$