Estimación del gasto medio mensual en electricidad

**a) ¿Cuál fue el gasto medio mensual por hogar en Canarias obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con que se obtuvo el intervalo?** En un intervalo de confianza para la media de la forma $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo, y el error $E$ es el radio (la mitad de la amplitud) del mismo. Calculamos la **media muestral** $\bar{x}$: $$\bar{x} = \frac{128,76 + 134,32}{2} = \frac{263,08}{2} = 131,54 \ €$$ Calculamos el **error de estimación** $E$: $$E = \frac{134,32 - 128,76}{2} = \frac{5,56}{2} = 2,78 \ €$$ 💡 **Tip:** El error también se puede obtener restando la media del extremo superior: $E = 134,32 - 131,54 = 2,78$. ✅ **Resultado (Media y Error):** $$\boxed{\bar{x} = 131,54 \ €; \quad E = 2,78 \ €}$$

Para hallar el nivel de confianza, necesitamos primero la desviación típica $\sigma$ y luego despejar $z_{\alpha/2}$ de la fórmula del error. La varianza es $\sigma^2 = 729 \ €^2$, por lo que la desviación típica es: $$\sigma = \sqrt{729} = 27 \ €$$ Sabemos que el error viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos ($E = 2,78$, $\sigma = 27$, $n = 289$): $$2,78 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{27}{\sqrt{289}} \implies 2,78 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{27}{17}$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{2,78 \cdot 17}{27} = \frac{47,26}{27} \approx 1,75$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el tamaño de la muestra $n$ siempre va dentro de una raíz cuadrada en el denominador de la fórmula del error. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,75}$$

Ahora buscamos la probabilidad asociada a $z_{\alpha/2} = 1,75$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$: $$P(Z \le 1,75) = 0,9599$$ Esta probabilidad corresponde a $1 - \frac{\alpha}{2}$. Por tanto: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9599 \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9599 = 0,0401$$ $$\alpha = 0,0401 \cdot 2 = 0,0802$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0,0802 = 0,9198 \approx 91,98 \%$$ ✅ **Resultado (Nivel de confianza):** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 91,98 \ %}$$

**b) Usando como valor de la media la estimación puntual obtenida en el apartado (a), y tomando una muestra de 576 hogares, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto medio en electricidad de dichos hogares sea mayor que $130 \ €$?** Datos para este apartado: - Media poblacional (estimada): $\mu = 131,54 \ €$ - Desviación típica: $\sigma = 27 \ €$ - Nuevo tamaño muestral: $n = 576$ La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(131,54, \frac{27}{\sqrt{576}}\right)$$ $$\bar{X} \sim N\left(131,54, \frac{27}{24}\right) = N(131,54, 1,125)$$ 💡 **Tip:** El error típico o desviación de la media muestral disminuye al aumentar el tamaño de la muestra. $$\boxed{\bar{X} \sim N(131,54, \ 1,125)}$$

Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 130)$. Tipificamos la variable para usar la normal estándar $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(\bar{X} \gt 130) = P\left(Z \gt \frac{130 - 131,54}{1,125}\right) = P\left(Z \gt \frac{-1,54}{1,125}\right)$$ $$P(Z \gt -1,3688...) \approx P(Z \gt -1,37)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -1,37) = P(Z \le 1,37)$$ Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 1,37) = 0,9147$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 130) = 0,9147}$$