Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Sabiendo que para obtener dicha proporción se han realizado 800 encuestas telefónicas, construir un intervalo de confianza al 90% para la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la proporción muestral: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.63$ - Complemento: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.63 = 0.37$ - Tamaño de la muestra: $n = 800$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 90%: Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces $\alpha = 0.10$ y $\alpha/2 = 0.05$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja un área a su izquierda de $1 - 0.05 = 0.95$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ es igual al nivel de confianza solicitado. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$

La fórmula del error para una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.63 \cdot 0.37}{800}}$$ $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2331}{800}}$$ $$E = 1.645 \cdot \sqrt{0.000291375}$$ $$E \approx 1.645 \cdot 0.01707 \approx 0.02808$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el error determina la amplitud del intervalo; a mayor muestra, menor será el error.

El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: Extremo inferior: $$\hat{p} - E = 0.63 - 0.02808 = 0.60192$$ Extremo superior: $$\hat{p} + E = 0.63 + 0.02808 = 0.65808$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.6019, 0.6581)}$$

**b) Utilizando el valor publicado por el periódico como estimación inicial de dicha proporción, ¿a cuántas personas habría que encuestar para estimar la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo con un error máximo del 1% y con un nivel de confianza del 88%?** Identificamos los nuevos parámetros: - Estimación inicial: $p = 0.63, q = 0.37$ - Error máximo permitido: $E = 0.01$ (un 1%) - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.88$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: Si $1 - \alpha = 0.88$, entonces $\alpha = 0.12$ y $\alpha/2 = 0.06$. Buscamos en la tabla de la normal el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0.06 = 0.94$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.94 \implies z_{\alpha/2} \approx 1.555$$ (Interpolando entre $1.55$, que es $0.9394$, y $1.56$, que es $0.9406$).

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.555)^2 \cdot 0.63 \cdot 0.37}{(0.01)^2}$$ $$n = \frac{2.418025 \cdot 0.2331}{0.0001}$$ $$n = \frac{0.5636416}{0.0001} \approx 5636.41$$ Como el número de personas debe ser entero y garantizar que el error no supere el 1%, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 5637 \text{ personas}}$$