Estudio del consumo de agua en un depósito

**a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, decir si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.** Para estudiar la continuidad, analizamos los dos trozos de la función. Ambos son funciones polinómicas (parábolas), por lo que son continuas en sus respectivos dominios abiertos. El único punto crítico es el cambio de rama en $m=10$. Calculamos los límites laterales en $m=10$: 1. Límite por la izquierda ($m \to 10^-$): $$\lim_{m \to 10^-} c(m) = \lim_{m \to 10} \frac{1}{10} (10^2 - 9 \cdot 10 + 30) = \frac{1}{10} (100 - 90 + 30) = \frac{40}{10} = 4$$ 2. Límite por la derecha y valor de la función ($m \to 10^+$): $$\lim_{m \to 10^+} c(m) = c(10) = \frac{1}{5} (10^2 - 25 \cdot 10 + 170) = \frac{1}{5} (100 - 250 + 170) = \frac{20}{5} = 4$$ Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función: $$\lim_{m \to 10^-} c(m) = \lim_{m \to 10^+} c(m) = c(10) = 4$$ La función es **continua en todo su dominio $[0, 15]$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si los valores en los puntos de unión de las ramas coinciden.

Para determinar cuándo la función crece o decrece, calculamos su derivada $c'(m)$ en cada tramo: $$c'(m) = \begin{cases} \frac{1}{10} (2m - 9) & 0 < m < 10 \\ \frac{1}{5} (2m - 25) & 10 < m < 15 \end{cases}$$ Buscamos los puntos donde la derivada es cero para encontrar los posibles extremos relativos: - Tramo 1: $2m - 9 = 0 \implies m = 4.5$ - Tramo 2: $2m - 25 = 0 \implies m = 12.5$ Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por estos puntos: $$ \begin{array}{c|ccccc} m & (0, 4.5) & 4.5 & (4.5, 10) & 10 & (10, 12.5) & 12.5 & (12.5, 15)\\ \hline c'(m) & - & 0 & + & / & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - **Decreciente** en los intervalos: $(0, 4.5)$ y $(10, 12.5)$. - **Creciente** en los intervalos: $(4.5, 10)$ y $(12.5, 15)$. 💡 **Tip:** La función crece donde $c'(m) > 0$ y decrece donde $c'(m) < 0$.

Utilizando los puntos calculados (vértices de las parábolas y extremos de los intervalos), representamos la función: - $c(0) = 3$ - $c(4.5) = 0.975$ - $c(10) = 4$ - $c(12.5) = 2.75$ - $c(15) = 4$

**b) ¿Cuándo se alcanzaron los consumos mínimos y máximos? ¿Cuáles fueron los correspondientes valores?** Evaluamos la función en los extremos del dominio, en los puntos de cambio de rama y en los puntos donde la derivada es cero: - Mes $m=0$: $c(0) = 3$ - Mes $m=4.5$: $c(4.5) = \frac{1}{10}(4.5^2 - 9 \cdot 4.5 + 30) = 0.975$ - Mes $m=10$: $c(10) = 4$ - Mes $m=12.5$: $c(12.5) = \frac{1}{5}(12.5^2 - 25 \cdot 12.5 + 170) = 2.75$ - Mes $m=15$: $c(15) = 4$ Comparando los valores: - El **consumo mínimo absoluto** se alcanzó a los **4.5 meses** con un valor de **0.975 decenas de miles de $m^3$** (es decir, $9.750 \, m^3$). - El **consumo máximo absoluto** se alcanzó en dos momentos: a los **10 meses** y a los **15 meses**, con un valor de **4 decenas de miles de $m^3$** (es decir, $40.000 \, m^3$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo: } (4.5, 0.975) \quad \text{Máximos: } (10, 4) \text{ y } (15, 4)}$$

**c) ¿Cuándo el consumo fue igual a 10 millones de litros ($10.000 m^3$)?** Primero debemos unificar unidades. La función está expresada en **decenas de miles de metros cúbicos**. Como $10.000 \, m^3$ equivale exactamente a **1 decena de mil de $m^3$**, buscamos los valores de $m$ tales que $c(m) = 1$. **Analizamos el primer tramo ($0 \le m < 10$):** $$\frac{1}{10} (m^2 - 9m + 30) = 1 \implies m^2 - 9m + 30 = 10 \implies m^2 - 9m + 20 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $m = 5$ y $m = 4$. Ambos valores están en el intervalo $[0, 10)$. **Analizamos el segundo tramo ($10 \le m \le 15$):** $$\frac{1}{5} (m^2 - 25m + 170) = 1 \implies m^2 - 25m + 170 = 5 \implies m^2 - 25m + 165 = 0$$ Calculamos el discriminante: $$\Delta = (-25)^2 - 4 \cdot 165 = 625 - 660 = -35$$ Como el discriminante es negativo, no hay soluciones reales en este tramo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consumo fue de } 10.000 \, m^3 \text{ en los meses } m=4 \text{ y } m=5}$$