Área de figuras planas e integrales definidas

**a) ¿Cuántos metros cuadrados mide la figura?** Primero, identificamos las funciones que limitan la región: - Parábola: $f(x) = x^2 - 1$ - Recta: $g(x) = 11 - x$ - Eje OX: $y = 0$ Calculamos los puntos de intersección entre ellas: 1. **Parábola con el eje OX:** $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$. Los puntos son $(-1, 0)$ y $(1, 0)$. 2. **Recta con el eje OX:** $11 - x = 0 \implies x = 11$. El punto es $(11, 0)$. 3. **Parábola con la recta:** $x^2 - 1 = 11 - x \implies x^2 + x - 12 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-12)}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \implies x_1 = 3, x_2 = -4$. Los puntos de corte son $(3, 8)$ y $(-4, 15)$. 💡 **Tip:** Es fundamental encontrar todos los puntos de corte para saber dónde empieza y termina nuestra región y si hay que dividir la integral en varios intervalos.

La figura debe estar "dentro" de la parábola (es decir, $y \ge x^2 - 1$), por debajo de la recta ($y \le 11 - x$) y por encima del eje OX ($y \ge 0$). Analizando los puntos obtenidos: - Para $x < -1$: La parábola $x^2-1$ está por encima del eje OX. El recinto estaría limitado por $x^2-1$ y $11-x$, pero el enunciado dice que el límite inferior es el eje OX. Esto solo ocurre a partir de $x = -1$. - Entre $x = -1$ y $x = 1$: La parábola es negativa ($x^2-1 \lt 0$), por lo que el límite inferior real es el eje OX ($y = 0$). - Entre $x = 1$ y $x = 3$: La parábola es positiva y está por debajo de la recta. El límite inferior es la parábola y el superior la recta. - Para $x > 3$: La parábola está por encima de la recta, por lo que no hay recinto que cumpla $y \ge x^2-1$ y $y \le 11-x$ simultáneamente. Por tanto, dividimos el área en dos recintos: 1. $R_1$: Desde $x = -1$ hasta $x = 1$. Límite superior $y = 11 - x$, límite inferior $y = 0$. 2. $R_2$: Desde $x = 1$ hasta $x = 3$. Límite superior $y = 11 - x$, límite inferior $y = x^2 - 1$.

Calculamos las dos integrales usando la regla de Barrow: **Área 1 ($R_1$):** $$A_1 = \int_{-1}^{1} (11 - x) \, dx = \left[ 11x - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}$$ $$A_1 = \left( 11(1) - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 11(-1) - \frac{(-1)^2}{2} \right) = (11 - 0.5) - (-11 - 0.5) = 10.5 + 11.5 = 22 \text{ m}^2$$ **Área 2 ($R_2$):** $$A_2 = \int_{1}^{3} [(11 - x) - (x^2 - 1)] \, dx = \int_{1}^{3} (12 - x - x^2) \, dx$$ $$A_2 = \left[ 12x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}$$ $$A_2 = \left( 12(3) - \frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 12(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right)$$ $$A_2 = (36 - 4.5 - 9) - (12 - 0.5 - 0.333) = 22.5 - 11.166 = \frac{67.5 - 33.5}{3} = \frac{34}{3} \approx 11.33 \text{ m}^2$$ **Área Total:** $$A = 22 + \frac{34}{3} = \frac{66 + 34}{3} = \frac{100}{3} \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \text{ m}^2}$$

Analizamos la división de colores en la figura según la recta $x = -1$: - **Parte azul ($x < -1$):** Según nuestro análisis geométrico, la figura definida por las condiciones del enunciado (limitada por debajo por el eje OX) comienza en $x = -1$. Por lo tanto, no hay superficie a la izquierda de $x = -1$. $$A_{azul} = 0 \text{ m}^2$$ - **Parte gris ($x > -1$):** Toda la figura se encuentra a la derecha de $x = -1$. $$A_{gris} = \frac{100}{3} \text{ m}^2$$ Planteamos la ecuación del coste total: $$\text{Coste Total} = (A_{azul} \cdot \text{Precio}_{azul}) + (A_{gris} \cdot \text{Precio}_{gris})$$ $$95 = (0 \cdot 10) + \left( \frac{100}{3} \cdot \text{Precio}_{gris} \right)$$ $$95 = \frac{100}{3} \cdot \text{Precio}_{gris}$$ Despejamos el precio de la pintura gris: $$\text{Precio}_{gris} = \frac{95 \cdot 3}{100} = \frac{285}{100} = 2.85 €/m^2$$ 💡 **Tip:** Si el enunciado presentara una región a la izquierda de $x=-1$ (por ejemplo, si no estuviera limitada por el eje OX sino solo por las curvas), el área azul sería la integral de $-4$ a $-1$, pero el coste superaría los $95€$ iniciales. Siguiendo las restricciones dadas, el área azul es nula. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Cada } m^2 \text{ de pintura gris cuesta } 2.85€}$$